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MÉCANIQUE. — Sur un théorème de M. Liapounoff, relatif à l'équilibre 
d'une masse fluide. Note de M. H. Ponxcaré. 
« Lorsqu'une masse fluide homogène, sans mouvement de rotation, est 
soumise à la loi de Newton, il est évident qu’une des figures d'équilibre 
est la sphère; mais nous ne savons pas jusqu’à présent s’il en existe d’au- 
tres. 
» Nous ne savons même pas démontrer que la sphère est la seule figure 
d'équilibre stable. 
» Il faut, pour l’équilibre stable, que l'intégrale 
dr dz' 
W=IT 
atteigne un maximum. L'intégration doit être étendue à toutes les combi- 
naisons de deux éléments d= et dr’ du volume de la masse fluide, et r dé- 
signe la distance de ces deux éléments. 
» Pour démontrer que la sphère est la seule figure d'équilibre stable, il 
faudrait donc établir qu’elle est la seule qui corresponde à un maximum 
relatif de W. On ne sait pas le faire, mais M. Liapounoff a dernièrement 
démontré, dans les Mémoires de l’Université de Kharkow, que la sphère cor- 
respond au maximum absolu de W. 
» Je crois qu’il est possible de simplifier beaucoup la démonstration de 
M. Liapounoff, par l'introduction de considérations empruntées à l’Électro- 
statique, et c’est là l’objet de la présente Note. 
» 1° Jl faut d’abord démontrer que W est susceptible d’un maximum 
absolu; pour cela, je me bornerai à faire voir que, si l’on se donne le vo- 
lume + de la figure, on peut trouver une limite supérieure de W. En effet, 
on a : 
À ' W=;:JV&, 
V désignant le potentiel de la masse fluide. par rapport au centre.de gra- 
vité de l’élément dx. | 
». Or V est manifestement plus petit que le potentiel d'une sphère de 
volume T par rapport à son centre. On a donc 
V<5%R?; 
en posant :rR° — T, on en déduit 
oo WLR T 
