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» 2° Caractère différentiel. — Outre le caractère précédent, les formes (A) 
possèdent un caractère transcendant qui consiste en ce que les équations 
différentielles simultanées aux dérivées partielles 
an agns a à SNS SR, LA 
(C) w(u 0; ms (u| E) = 0. EE Maa (uE) = 0 
forment un système complet, c'est-à-dire admettent une solution complète 
comprenant (n+ 1) — (n — 2) = 3 constantes, dont une, évidemment, est 
additive à la fonction 0. 
» Supposons, réciproquement, que l’on parte d’un Système complet (C) 
quelconque; en formant: les équations (B) et cherchant l'enveloppe du 
plan (P) qui vérifie ces équations, on tombera sur une forme M(u|#). La 
forme M(u| du) est fondamentale pour uneinfinité de systèmes d'éléments. 
J'ai réussi à prouver même que tous ces systèmes d'éléments dérivent les uns 
des autres par une transformation de contact. Si donc on considère deux 
éléments tels que la forme fondämentale soit la même pour tous les deux, 
ou encore que la forme fondamentale de l’un dérive de l’autre par un 
Simple changement dë variables, on est assuré qu’une: transformation de 
contact permet de passer d’un système d'éléments à l’autre. Tel est le cas 
de la droite et de la sphère; dans les deux cas, la forme fondamentale est 
la somme des carrés des différentielles (ou peut être ramenée à ce type) : 
donc, a priori, une transformation de contact permet de passer de la droite 
à la sphère; M. Sophus Lie a depuis longtemps donné cette remarquable 
transformation. #9 : 
» On voit donc que, si l’on appelle classe d'éléments tous les éléments 
qui dérivent les uns des autres par une transformation de contact, "classe 
de formes de différentielles l'ensemble des formes qui dérivent les unes des 
autres par un changement de variables, on peut dire : A toute classe d’élé- 
ments correspond une classe de formes, et inversement; pourvu, bien en- 
tendu, que le double caractère algébrique et différentiel se rencontre dans 
les formes considérées. . 
» Dans une prochaine Communication, nous donnerons quelques déve- 
loppements aux considérations précédentes. » LOTS OL 
