GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Sur une classe de formes de différentielles, 
et la théorie des systemes quelconques d'éléments. Note de M. G. Raxi6s, 
présentée par M. Darboux. 
« Je conserverai les notations de ma précédente Communication. Pre- 
nons le système complet 
É FN | + d60\ 
(C) om (u5) = 0, m(u|5)= 0, SR malul) = 0 
et soit o(x, B; Ur, Us, +-+, Uns Uns,) — y Où, abréviativement, p(a,Blu)—7Yy 
une solution complète avec trois constantes x, B, y. On obtient un système 
de surfaces donnant lieu à la forme (A), en prenant celles représentées par 
léquation 
Hit 7 [u). 
» Supposons, au contraire, que les équations (C) soient vérifiées iden- 
tiquement ou bien en vertu de l'équation 0(u,,u,,..., Uri) = 0, Où 0 est 
une fonction des u. L'équation ù = o a pour effet d’assujettir les surfaces qui 
la vérifient à toucher une courbe ou une surface fixes, ou bien à passer par un 
point fixe. 
» Réciproquement, pour que l'équation 0 = o exprime une propriété 
de l’un de ces trois genres, il faut que les équations (C) soient vérifiées. 
L'interprétation d’une solution quelconque des équations (C) est donc 
tout à fait la même que celle de l’évanouissement du paramètre différentiel 
de M. Klein dans le cas des droites. 
» S'il s’agit, en effet, de courbes au lieu de surfaces, on voit que, au lieu 
de surfaces tangentes à une courbe ou à une surface, ou passant par Un 
point fixe, on aura des courbes tangentes à une surface fixe ou s'appuyant sur 
une courbe fixe, conformément à la doctrine des transformations de con- 
tact. | 
» Ceci nous amène à distinguer deux espèces de classes d'éléments. A la 
première espèce appartiendront les classes dont tous les systèmes d’élé- 
ments sont des systèmes de surfaces. A la seconde appartiendra toute classe 
d'éléments dont l’un des systèmes (et, par suite, une infinité) sera com- 
posé de courbes. 
» Par exemple, la classe qui comprend le système quadruplement indé- 
