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terminé des sphères de l’espace est de la seconde espèce, puisque cette 
classe comprend le système quadruplement indéterminé des droites de 
l’espace. : 
». A quel caractère reconnaitra-t-on qu'une forme (A) se rapporte à une 
classe de seconde espèce? Ce caractère est lié à la considération des sys- 
tèmes semi-linéaires de M. S. Lie. Il faut et il suffit, en effet, pour cela 
que le système des équations (C) forme un système complet semi-linéaire, 
c'est-à-dire admettant une solution complète de la forme 
pCalu) + Bh(alu) — y, 
où x, Ê, y sont les trois constantes. Les courbes 
>= g(slu) y = (alu), 
prises pour élément, donnent lieu à la forme fondamentale (A). 
» Les remarques précédentes permettent de traiter diverses questions 
générales. Le théorème suivant simplifie certaines de ces recherches. 
» Supposons que, pour construire la forme (A), on veuille partir du 
systeme complet (C). Je dis que l’on peut toujours supposer qu'aucune dés 
équations (C) n’est linéaire. En effet : Si l’une des équations (C) est linéaire, 
le nombre des paramètres u peut être abaissé d’une unité. Si p des équa- 
tions (C) sont linéaires, le nombre des paramètres u peut être abaissé de 
p unités. 
» En appliquant ce théorème à la recherche des formes (A) qui sont - 
quadratiques, comme une seule des équations (C) peut être quadratique 
et que les autres doivent étre linéaires, on en conclut que le nombre des 
Paramètres peut être réduit de (n+i)àn+i1—(n—3)=4. Donc: 
» Les systèmes d'éléments qui donnent lieu à une forme quadratique ne 
Peuvent contenir plus de quatre paramètres. 
+ Du reste, toute forme quadratique est une forme fondamentale; car, 
si l’on prend la forme adjointe et ensuite que l’on forme le paramètre 
ifférentiel 
dð 
„IW (u E) 
leuto solution complète ọ(«, B| u) — y de l'équation ™ (u =) = o four- 
mt une surface 
s=o(x,ylu), ; ; = gpl ois 
