» Il s'agit de l'équation 
dy va, ( AN? RAR 52 4 
(1) LLY a AZ U dé = O, 
où X, Y, Z, U désignent des fonctions bien déterminées de x et de y, de 
telle sorte qu’à chaque point P du plan corresponde une seule cubique, 
définie par l'équation 
Don) Fin) a) 
En) ZE <a) (nn) UE 2) = 0 
» Cette cubique admet le point P pour point double, et, de cette pro- 
priété, jointe aux propriétés générales des cubiques, on déduit les pro- 
positions suivantes : 
» 1. Parmi les courbes représentées par l'équation (1) et passant par un 
point donné, il y en a trois, et trois seulement, dont les centres de courbure 
soient sur une droite donnee. 
» 2. Soient À,, B,, C, les trois points ainsi définis sur une droite D, ; À, B., Co 
les trois points analogues sur une droite D, ; sur la droite A, À, se trouveun troi- 
sieme point À,, sur la droite B, B, un troisieme point B,, sur la droite C, C, un 
troisième point C,, définis par l’énoncé précédent; les trois points À,, B;, Cs 
sont en ligne droite. 
» 3. Le point À,, défini par l'énoncé 2, est le même pour toutes les droites 
qui le contiennent ; et, si une droite tourne autour de ce point, les rayons PB,, 
PC; sont en involution. A, et B, se confondent, si, dans celte involution, PC, 
est le conjugué de PA,. 
À 4. Si, par les trois points À,, B,, C, de l'énoncé 2, on mène les trois 
droites sur lesquelles deux des centres de courbure sont confondus, sur chacune 
d elles il y a un troisième centre de courbure : ces trois centres sont en ligne 
tle. 
» 5. Il existe trois droites sur lesquelles les trois centres de courbure sont 
confondus en un seul, et ces trois centres sont en ligne droite. Ce sont les points 
d'inflexion de la cubique correspondant au point P. 4; 
» 6. Par chaque point A du plan on peut mener quatre droites, et quatre 
seulement, sur lesquelles deux des centres de courbure soient confondus. Les 
quatre points ainsi définis, le point A et le point P sont sur une même conique. 
C'est la conique polaire du point A. HR ee 
> nS a5 a des points À, tels que deux des quaire droites de l énoncé 6 
» est la cubique correspondant au point P. 
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