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GÉOMÉTRIE. — Sur la rectification des courbes planes uricursales. 
Note de M. L. Rarry, présentée par M. Darboux. 
« L’arc des courbes algébriques dépend en général des intégrales abé- 
liennes. Il arrive néanmoins qu’il s'exprime algébriquement. 
» M. Darboux, qui a appelé mon attention sur ce cas, m'a fait remar- 
quer que toute courbe algébrique dont larc est algébrique est la déve- 
loppée d’une autre courbe algébrique. D'ailleurs, la développée plane de 
toute courbe algébrique plane a son arc algébrique. 
» On peut se proposer de trouver les courbes planes unicursales dont 
l'arc est non seulement une fonction algébrique, mais une fonction ration- 
nelle des coordonnées de son extrémité; c’est alors une fonction ration- 
nelle du paramètre ż qui correspond uniformément aux points de la courbe. 
D’après la remarque de M. Darboux, ces courbes, qu’on pourrait appeler 
courbes à arc rationnel, sont les développées des courbes unicursales dont 
le rayon de courbure est une fonction rationnelle du paramètre ż. Nous 
dirons plus brièvement que les courbes à arc rationnel sont les dévelop- 
pées des courbes à courbure rationnelle. 
» Voici comment s’obtiennent toutes les courbes à courbure rationnelle. 
Ce sont les enveloppes des droites représentées par l'équation 
(1) Pr —a@v— 2y =O, 
où l’on a posé 
U—=X+iY, gv =g — iy, 
et où x et 8 sont deux fonctions entières arbitraires et y une fonction ra- 
tionnelle arbitraire d’un paramètre ż. On a ainsi, en désignant par un ac- 
cent les dérivées prises par rapport àz, ces expressions des coordonnées 
À | Dr afp er PUSL Spésearpe 
( ) u B (aB — Ga!) - E a(af!— Ba") 
» Les courbes à courbure rationnelle dont on se donne la classe se dé- 
duisent immédiatement de l'équation (1). 
» On peut aussi chercher celles de ces courbes dont l’ordre est donné- 
Dans le cas des cubiques réelles, on déduit des formules (2) que # A 
