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» Voici un autre cas particulier où les équations (2) donnent également 
pour æ et y des fonctions uniformes de z et de ż; mais, au lieu de fonctions 
hyperfuchsiennes, on a des fonctions quadruplement périodiques de ces 
deux variables. Prenons, dans les intégrales définies (1), 
eue bre 
et considérons les intégrales définies 
à Vu(u — 1)(u—æx)}(u—7Y) 
g et h désignant deux des quantités o, 1, æ, y. Les équations linéaires du 
système S correspondant admettent pour intégrale particulière une con- 
stante quelconque. Ghoisissons deux autres intégrales particulières dis- 
tinctes de ce système, w, et w; on démontre, par des considérations toutes 
pareilles à celles dont s'est servi M. Picard, que les deux équations 
(4) D — 3 hr nome t 
donnent pour # et y des fonctions uniformes de z et de ż. Pour reconnaître 
la nature de ces fonctions, je prends le groupe de substitutions relatif au 
système S; en choisissant convenablement les intégrales w; et oz, les substi- 
tutions fondamentales de ce groupe seront les suivantes :, 
d NAE n m e 
5 y = — Os O, = We, o = 105 + 2T, 
1 , 2, n 2; m . 
w, = U2, O, = Ws w, = — 10, + 274, 
» On en déduit immédiatement que les dérivées partielles 
: o D o di 
0x” dy 0x dy 
n’admettent, pour un système particulier de valeurs attribuées à æ et à yY» 
que seize systèmes de valeurs distinctes; d’après la nature de leurs points 
singuliers, ces dérivées partielles seront, par conséquent, des fonctions 
algébriques de æ, y. D'un autre côté, on connaît la forme d’un système fon- 
damental d’intégrales du système S dans le voisinage des couples de va- 
leurs singulières; pour les valeurs attribuées à à, p, b,, b2, ces intégrales 
conservent toujours des valeurs finies : ce qu'on peut, du reste, démontrer 
directement d’après leur expression (3). On est donc conduit à conclure 
de ces diverses remarques que z et ż; considérées comme fonctions de x et 
de y, sont des intégrales de différentielles totales de première espèce. 
