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décrit évidemment une courbe dont la courbe j = o est la développée, et, 
par suite, x, y sont des fonctions rationnelles de Ë, n. Donc : 
» Toute courbe algébrique rectifiable est la développée d'une courbe alge- 
brique; ces deux courbes se correspondent point par point. 
» On conclut aussi de la formule (1) qu'une courbe algébrique ne peut 
être coupée orthogonalement par ses normales en plus de deux points sans 
être décomposable en courbes de degré moindre, et qu’une courbe coupée 
orthogonalement par ses normales en deux points s'obtient toujours en 
portant une longueur constante, de part et d'autre de leur pied, sur les 
normales à une courbe ordinaire. 
» Pour que l'arc s soit une fonction rationnelle de æ, y, il faut et il 
suffit, d’après (1), que J; + f; soit égal au carré d’une fonction rationnelle 
de æ, y en chaque point de la courbe f= o, c’est-à-dire que cette courbe 
soit, suivant l'expression de M. Laguerre, une courbe de direction. 
» Or toute courbe de direction a pour développée une courbe de direc- 
tion quand elle est coupée orthogonalement par ses normales en un seul 
point, ce que nous exprimerons en disant que cette courbe est simple; in- 
versement, si la développée d’une courbe algébrique est de direction, cette 
courbe est elle-même de direction, Donc : 
» Les courbes algébriques planes dont l'arc peut s'exprimer par une fonction 
rationnelle des coordonnées sont les développées des courbes algébriques de di- 
rection simples. 
» M. Laguerre a montré que les anticaustiques par réflexion d'une 
courbe algébrique, les rayons incidents étant parallèles, sont des courbes 
de direction, et, réciproquement, on peut voir que ces courbes de direc- 
tion sont simples, à moins qu’on ne puisse mener à la courbe réfléchissante 
deux tangentes rectangulaires de tous les points d’une droite normale aux 
rayons lumineux; par suite : 
» Les courbes algébriques planes dont l'arc peut s'exprimer par une fonction 
rationnelle des coordonnées sont les caustiques par réflexion des courbes al- 
gebriques, les rayons incidents étant parallèles, el réciproquement, 
» Toutefois, si l'on peut mener à la courbe réfléchissante deux tangentes 
rectangulaires de tous les points d’une droite normale aux rayons lumi- 
neux, la caustique aura son arc exprimable algébriquement, mais non ra- 
tionnellement. 
