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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la fonction Ü(s) de Riemann. 
Note de M. d.-L.-W.-V. JSEnsex, présentée par M. Hermite. 
« 4. La fonction (s —1)£(s) est, comme on sait, une fonction holo- 
morphe de la variable s. C’est ce qu’il est aisé de voir par une analyse assez 
élémentaire. Soit, en effet, la partie réelle R(s) de la variable s plus grande 
que 1, alors 
(s — NE= X (s —1)n et iag I LS [Cr +i) n'=']; 
nsi 
d’où, en ajoutant membre à membre, vient la formule 
(1) (—1)E(s)— 12 nt À 
> ee n r 
n—1 
» Maintenant on a, pour » >1, 
2 1\i-s t > 
m= n= | (1+) — I — | 
l n m 
a m| e (5—1) s(s +1) (s—1i)s(s+1)(s+2) |: 
mr NE f à A - =- 7 s.. |» 
Ln 12.3 R? t.2- J4 
d’où l’on conclut l'inégalité 
TRE 1 \ -s11 Eos ti 
[u,| E wf) -1 E], 
qui peut être remplacée par les suivantes 
i I gasti s—1| 1 
|u| n° een ee Le 
[Sr] n 
fs ed 
n—ı 
en supposant R(s)> OC En > 2e 
» Ainsi la série (1) est uniformément convergente, tant que la variable s 
est finie et sa partie réelle plus grande que o. On voit par conséquent, 
d’après un beau théorème de M. Weierstrass, que la fonction (s — 1)C s) 
peut être étendue au delà du domaine primitif [R(s)> 1], et qu'elle na 
pas de singularités pour R(s)> 0. En outre on trouve, du moins pour 
