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tandis qu'ils se déduisent les uns des autres, dans chacune des deux sé- 
ries, par deux opérateurs différents. Une combinaison convenable de ces 
i ; Po a ao i re 
deux opérateurs, savoir (4) s’il s’agit d’un péninvariant, ou (5) s’il s’agit 
d'un invariant pour lequel (4) donne identiquement zéro, fournit donc 
d 
un résultat qui donne à son tour zéro par l'opérateur = 
En partant du péninvariant a, l'opérateur (5) donne la série des 
invariants quadratiques des formes d'ordre pair; en partant de l’un de 
ceux-ci, multiplié par a,, l opérateur (4) donne le péninvariant principal 
de la forme d'ordre impair immédiatement supérieur, etc. 
» La proposition suivante est encore bien facile à établir : 
Tuéorème IV. — Si, dans un péninvariant + (de degré p, de poids +, 
étendue n), on remplace a,, 4,, ` ai a, par w, w',...,w), w étant un pén- 
invariant (de degré p', de poids +’, d'étendue n'), et w', ..., w® des deri- 
vees successives par rapport à €, le résultat est encore un péninvariant (de 
degré pp', de poids x + pr', d'étendue n +n’). 
Fe d 
En effet, appliquons à ce résultat l'opérateur > ou, en prenant 
comme intermédiaires, ce qui est évidemment permis, les fonctions w, 
r=n 
+: À F »(r) P Š 3 
W, a., W, l'opérateur D an és lequel équivaut, en vertu du théo- 
=4 
PER 
5 $ JLE d ; 7 
rème II, à celui-ci: P e AN : Il est clair que nous obtiendrons, 
P rai 
sauf le changement des lettres a en w, Sy ert la même expression 
hj 
ue si ; iqué - ; > c’est-à-dire 
q nous avions appliqué à v l'opérateur p X ra, — 1 i 
P + Mais ce dernier donne identiquement zéro; il en est donc de même 
ai premier, ce qui démontre le théorème. 
» Enfin il est très important de remarquer que la démonstration donnée 
par M. d'Ocagne pour son théorème (p. 961 de ce Volume) subsiste sans 
modification pour des péninvariants relatifs à des systèmes de formes, pourvu 
qu'on traite a,, a, 4, ... comme des fonctions de č indépendantes, ayant 
pour dérivées successives &,, 43, .:.3 4,,4,,...3 Asi Ags ... Dès lors la dé- 
monstration que j'ai donnée pour les théorèmes I et II subsiste aussi, et 
ces deux théorèmes restent exacts dans ce cas plus général. Il en est de 
même du théorème III, à condition de remplacer, dans les opérateurs (4) 
C. R., 1887, 1" Semestre. (T. CIV, N° 19.) 162 
