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du du o? g go 
0x? dy 0x dy* dx? dy dx dy? 
pourra former un système de huit équations aux différentielles totales du 
du. du d'u de dv o'p 
* 0x’ dy dxdy 0x’ dy 0x dy 
Si les conditions d’intégrabilité de ce système sont satisfaites identique- 
ment, l'intégrale générale contiendra huit constantes arbitraires. Mais 
nous savons a priori que les fonctions u et dépendent de huit constantes 
arbitraires. Il est donc nécessaire que ces conditions d’intégrabilité soient 
satisfaites identiquement, et l’on aura, par conséquent, l'intégrale générale 
des équations (3) en prenant 
tolles — en fonction des précédentes, et l’on 
premier ordre, où les inconnues seront u, p 
lu, + mo, + nw, Loi + Mio + niv; 
u = y 7 EERE = 7 7 7 
WH M wtr W3 w + mM wt n wz 
) 
l, m, n, ... désignant des constantes arbitraires. Il est aisé de vérifier que 
les ation (3) ne changent pas Tene on effectue sur ų etp une substi- 
tution linéaire quelconque 
u! lu+mv+n ehu e me A Ri 
+ L Lu+mr+<n 
? 
CPU MVEN 
Il est intéressant de remarquer que, lorsqu'on prend u et p pour variables 
indépendantes, l'équation (2) se réduit à l'équation aux dérivées partielles 
des surfaces conoïdes, de sorte que l'intégrale générale sera donnée par 
la relation 
uo(r)+vd(r) =1t, 
? et y désignant deux fonctions arbitraires. 
» Si l’on considère maintenant æ et y comme fonctions de u et de p, on 
a tout pareillement deux systèmes équivalents d'équations aux dérivées 
partielles du second ordre. Dans l’un d'eux, les premiers membres sont 
identiques aux premiers membres des équations (3), sauf le changement 
de u, v en x, y; mais les seconds membres sont un peu plus compliqués. 
Les équations (3) et les équations inverses permettent de traiter un grand 
nombre de questions relatives aux équations (1). En particulier, on peut 
s’en servir pour former les systèmes (1), où les a, b, c sont des fonctions 
rationnelles des variables x, y, et dont l'intégrale générale se compose de 
fonctions algébriques de ces deux variables, » 
C. R., 1887, 1" Semestre. (T. CIV, N° 20.) 179 
