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toutes les autres solutions de ces équations s’obtiennent en opérant sur les 
valeurs (T, U) toutes les substitutions du groupe (x). Différentions par 
rapport à x, y les équations 
: t(aT + bU + c) — a T + b'U +e, 
> u(aT +bU +6) =a T+ b'U +6”, 
en poussant jusqu’au second ordre inclusivement. 
» Nous formons ainsi douze équations, homogènes et linéaires en à, b, 
c,a', ..., et, si l’on élimine ces constantes, il reste quatre équations où 
figurent les dérivées partielles (premières et secondes) de ż et de u. Ecri- 
vons l’une de ces équations : il est clair que le rapport de deux quel- 
conques de ses coefficients (où figurent les dérivées de T et U) ne change 
pas par une substitution linéaire, et l’on trouve ainsi, presque sans calculs, 
les quatre inpariants suivants : 
{ dt du ou dt 
ur ae th ula =y AT) 
ðt du dt du ad AS a UE à 
Ox dy oy dx 
(3) { d*t du i dt du à du dt du dt 
Jon -edy or dady os oa oy AS 
sy du dt ee feu TA (x, II 
ðs dy dy ðx 
\éul.=x(x, y), — 1i ul = ul, y) 
(Ces deux derniers se déduisent des précédents en permutant x et y.) Les 
équations (3) forment un système de quatre équations aux dérivées par- 
tielles, où entrent deux fonctions à deux variables, et dont l'intégrale 
générale est de la forme (2), comme on le voit aisément. 
» Les coefficients y,, 4», 73,7, sont des fonctions rationnelles de (4, u) 
qui ne changent pas par les substitutions (z), par suite des fonctions ra- 
tionnelles de (x, y). On les calcule, pour chaque groupe (x), en expri- 
mant les quatre invariants en fonction des dérivées de ọ et 4, ce qui donne 
le degré de ÿ,, %2, Xss y, en (t, u), par conséquent leur forme en (x, y) à 
des constantes numériques près qu’on détermine facilement. 
» On peut se placer à un point de vue un peu différent ; rendons homo- 
gènes les seconds membres des équations (1), en posant ¿ = 2 u= S 
et cherchons à déterminer la fonction 3, de (æ, y), en sorte que Zis 52 s 
