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Si l’une des solutions (x,, y,, z,) était (1, 0, 1), en partant de cette solu- 
tion, le système correspondant donnerait toujours (1, 0, 1); les solutions 
(x, Yp 31), (£a Yas 3,) ne feraient donc point partie de la suite: Mais la 
solution (1,0, 1) ne pourrait-elle pas être obtenue dans les deux autres 
systèmes? L'impossibilité est probable, mais bien difficile à démontrer, 
quelle que soit (x’, y', z'). Cependant, dans chaque cas particulier, l'im- 
possibilité sera reconnue lorsque ni l’une ni l’autre de deux équations du 
troisième degré correspondant à une même solution (x’, y’, z’) naura une 
racine commensurable qui soit un carré : j'ai fait la vérification pour l'é- 
quation X°— 19 Ÿ'= 7? 
» Dans le calcul effectif des solutions, contrairement à ce qui était 
prescrit tout à l'heure, on doit faire intervenir dans chacune des suites les 
solutions données par les autres. On trouve ainsi que l'équation 
AXIS O% es 27, 
dont les solutions primitives sont (1, 1, 1), (7, 4, 94), a pour premières so- 
lutions (1, 1, 1), (1,0, 2), (61,33, 7199), (2593, 2632) et que l'équation 
XI VI SX? 52, 
dont les solutions primitives sont (1, 1, 1), (1,2, 1), (3, 1,5), a pour ses 
dix premières solutions (r,n, 1), (1, 2, 1), (3, 8,5), (3, 2,7); (7, 1,23), 
(7,14, 59); (0, 19:67), (23, 2, 241), (29,41, 495), C(4r, 11, 875). 
» On a pu remarquer que quelques-uns des résultats précédents sont en 
désaccord avec ce théorème de M. Lucas : Toutes les solutions d'une équation 
aX‘ bY* = cZ?, dans laquelle a, b,c ne contiennent que des facteurs 2 et 3, 
s obtiennent à l’aide d’un seul système de formules (!). On voit d’abord que, 
sur les vingt équations auxquelles le théorème serait applicable, onze sont 
de la forme X' + bY'= 7? Or une pareille équation ne peut être résolue 
que par deux systèmes au moins, qui correspondent à (1,0, 1) et à une 
autre solution primitive. On peut voir encore que le théorème est inexact 
pour l'équation 4X'— 3Y'=— Z°. En effet, comme on l’a vu en commen- 
çant, les premières solutions de cette équation sont (1,1,1), (1,0,2), 
(61,33, 7199), (2593, 2632), tandis que les formules de M. Lucas don- 
nent les solutions (1, 1, 1), (61, 33, 59), (195397,6175) et une suite d’au- 
tres solutions dans lesquelles y est toujours impair. » 
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(1) Le système (7), page 70 du Volume des Nouvelles Annales pour l’année 1879. 
C. R., 1887, 1 Semestre. (T. CIV, N° 93.) 20 
