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( 1648 ) 
n'est nullement arbitraire. Elle l’a conduit en particulier à une transfor- 
mation géométrique nouvelle qui promet de n'être pas moins utile que 
les transformations déjà connues. 
» Pour résoudre un problème nouveau, nous cherchons toujours à le 
simplifier par une série de transformations; mais cette simplification a un 
terme, car il y a dans tout problème quelque chose d’essentiel, pour ainsi 
dire, que toute transformation est impuissante à modifier. De là l'impor- 
tance de la notion générale d’invariant que l’on doit rencontrer dans 
toute question de Mathématiques; elle devait s'introduire nécessairement 
dans la théorie des équations différentielles linéaires et fournir le moyen 
d'amener ces équations, par des opérations convenables, au plus haut 
degré possible de simplicité. 
» Laguerre doit partager avec M. Halphen la gloire d’avoir réalisé ce 
progrès, important; mais l’idée première lui appartient. 
» J'arrive à la partie la plus remarquable de l’œuvre de Laguerre, je 
veux parler de ses travaux sur les équations algébriques. Le théorème de 
Sturm permettait déjà une discussion complète; la méthode de Newton 
donnait une approximation rapide et indéfinie. La question semblait donc 
épuisée. Mais ce n’était pas la première fois que Laguerre, abordant un 
champ où les esprits superficiels ne croyaient plus avoir rien à glaner, en 
rapportait une moisson nouvelle. 
» La méthode de Sturm, il faut bien le reconnaitre, a été plus admirée 
qu’appliquée. Pour obtenir le nombre des racines réelles d’une équation, 
on préfère généralement employer des moyens détournés propres à chaque 
cas particulier ; on ne pouvait donc trouver de nouveau qu’en dehors du 
cas général. sh | 
» La démonstration classique de la règle des signes de Descartes est 
d’une grande simplicité ; Laguerre en a trouvé une plus simple encore. Ce 
n'eùt été là qu’un avantage secondaire, mais la démonstration nouvelle 
s'applique non seulement aux polynômes entiers, mais encore aux séries 
infinies. Ainsi transformé, le théorème de Descartes devient un instrument 
d’une flexibilité merveilleuse ; manié par Laguerre, il le conduit à des 
règles élégantes, bien plus simples que celle de Sturm et s'appliquant à 
des classes très étendues d'équations. Une d'elles, qui, à vrai dire, est 
aussi compliquée que celle de Sturm, a le même degré de généralité. 
Laguerre ne s’y arrête pas d’ailleurs, attiré plutôt vers les cas particuliers 
simples par son instinct scientifique. 
» La méthode de Newton consiste à remplacer l'équation à résoudre par 
