( 1689 ) 
» Réciproquement, tout non-multiple de P, >,» peut-il se mettre sous 
la forme (1)? Il n’en est rien, et l’on verra plus loin que, pour n = 2, la 
première impossibilité apparaît à l'égard du nombre 53. Le but de cette 
Note est de trouver, pour toute valeur de n, une pareille limite au-dessous 
de laquelle tout non-multiple de p,,.…., est décomposable, c’est-à-dire sus- 
ceptible de revêtir la forme (1). 
» Je poserai 
À RME 
Pi P2 Ps- Pa = II, 
» TaéorÈme. — Soient u, L deux nombres positifs, le premier au moins égal 
à 1; si tout non-mulliple de p,,s..(n-1), inferieur à uW, + L, est décomposa- 
ble, tout non-multiple de P, s,..n, inférieur à ui, + Mni + p, L, est décom- 
posable aussi. 
» Soit N un non-multiple positif de p, »,...n3 On peut trouver des nom- 
bres entiers N’ et x satisfaisant aux conditions 
NSN Fi, 1Ŝ2Śpą,— 1i. 
» Comme z est inférieur à Pas ses facteurs premiers sont compris dans 
la suite p,, ps, =. spr; d'où l’on voit que, si N’, non-multiple dep, s... n=» 
est décomposable, N non-multiple de p,,.., est décomposable également. 
» Supposons d’abord N’ négatif. D’après l'hypothèse N >> o, on aura 
} a 
En STATS <<, < ul + Le 
» En même tèmps, N moindre que 411,_, est aussi moindre que 
` ul, + i + prL- 
Soit, en second lieu, N' positif. En supposant N inférieur à 
' i uI : 23 M “H Pn L, 
on a | 
N'<ÈI, + LEG 0), = (pra) bE Te 
» Ainsi, quand N est inférieur à la limite gl, + I, + p, L, la valeur 
absolue de N'est toujours inférieure à la limite uI, + L. Le théorème est 
donc prouvé. 
» Dans le cas élémentaire n = 2, p, = 3, les nombres y et L se déter- 
minent par un calcul direct. La forme (1) se réduit à + 3° + 2? et l'on 
vérifie aisément que tout non-multiple de 2 et 3, inférieur à 53, peut se 
mettre sous cette forme. Prenant 
E—2.3—6; g=, Les, uii, + L = 53, 
