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par une autre fonction n obtenue en posant y = nX et désignant par X 
une fonction de x. Toute équation différentielle algébrique non homogène 
par rapport à une fonction u et à ses dérivées peut être ramenée à une 
équation homogène d’un ordre supérieur d’une unité : il suffit, pour cela, 
de remplacer la fonction u par la dérivée logarithmique d’une autre fonc- 
tion y. 
» I. Prenons, pour fixer les idées, une équation différentielle du second 
ordre homogène et du second degré par rapport à la fonction inconnue y 
et à ses dérivées y’, y”, et supposons d’abord que le coefficient de y”? soit 
nul, celui de y y” étant différent de zéro. Cette équation sera de la 
forme 
(1y By'y"+Cyy + Dy” +Eyy +Fy’=o0, 
les coefficients B, C, D, E, F étant des fonctions données de x, parmi les- 
quelles la première B peut toujours être supposée égale à l'unité. Si lon 
fait le changement de fonction y = nX, on peut déterminer X en fonction 
de x par la condition que, dans la nouvelle équation en », le coefficient 
de nn” soit nul; et l'équation prend la forme 
(2) | Binn” + D n? + Erm + Fin =, 
où les coefficients D,, E,, F, sont des semi-invariants relatifs au change- 
ment de fonction, lé dernier coefficient F, ne différant que par un facteur 
du discriminant du polynôme (1). Il est possible de ramener l'équation (2) 
à une forme réduite dans laquelle ne figure qu'un invariant absolu. En fai- 
sant i 
FE 
n=E 
on obtient une équation de la forme 
(3): ` TE 409 + Be? ye +3, 
æ, B, y, ò étant des fonctions de x faciles à exprimer en B,, D,,E,,F,. Puis, 
en posant 
pP—=dXW +, 
déterminant convenablement à et y en fonction de x et faisant enfin un 
changement de variable indépendante, on obtiendra une équation de la 
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