( 1885) 
ces deux questions, par l’étude des éléments principaux d’un complexe 
autour d’une droite singulière. 
» Soient C un complexe quelconque, Ë une droite singulière de C, tou- 
chant en un point P la surface de singularités S. 
» Tous les complexes linéaires tangents au complexe C, suivant la 
droite č, sont spéciaux, et leurs axes sont précisément les tangentes au 
point P à la surface S. 
» Parmi ces complexes tangents, il y en a trois qui sont stationnaires. 
Ces trois complexes linéaires principaux ont pour axes (ils sont très spé- 
ciaux, d’après ce qui précède) : 
» 1° La droite singulière Ë elle-même; 
» 2° Les tangentes asymptotiques en P à la surface de singularités. 
» Appelons L lun de ces deux derniers complexes principaux, dont 
l'axe sera une tangente asymptotique à à la surface S au point P. Le com- 
plexe L est tangent au complexe C suivant la droite E et suivant une droite 
infiniment voisine €. Cette droite Ẹ est singulière, et en appelant P’ le point 
où elle touche la surface S, point qui est infiniment voisin de P, la 
droite PP’ n’est autre que la tangente asymptotique }. z 
» Considérons alors la surface principale dont les droites singulières € 
ét £’ constituent un élément ; comme on peut répéter sur £’ les raisonne- 
ments faits sur €, on voit que cette surface principale ne cessera pas d’être 
engendrée par des droites singulières. Elle sera donc circonscrite à la sur- 
face de singularités, et comme chaque élément PP’ de la courbe de con- 
tact appartient à une ligne asymptotique, cette courbe de contact sera une 
ligne asymptotique. Ainsi : 
» Deux des surfaces principales qui passent par une droite singulière sont 
engendrées par des droites singulières et sont circonscrites à la surface de singu- 
larités suivant les deux lignes asymptotiques qui se croisent au point de contact 
de cette surface avec la droite singuliere considérée. 
» Il suit bien de là que la connaissance des surfaces principales d’un 
complexe entraîne celle des lignes asymptotiques de sa surface de singu- 
larités. A 
» Les faits que j'ai résumés ci-dessus peuvent se démontrer soit directe- 
ment, soit en se servant des élégants résultats de M. Klein, relatifs aux 
complexes quadratiques, et observant qu’à l'égard des propriétés da se- 
cond ordre tout complexé se comporte comme un complexe quadra- 
tique. On peut enfin donner une forme plus précise à la démonstration en 
faisant usage de mes propres recherches surle moment des complexes sin- 
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C. R., 1887, 1* Semestre. (T. CIV, N° 26.) 234 
