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guliers, que j'ai résumées dans deux Notes aux Comptes rendus en 1885 
et développées en 1886 dans les Annales de la Faculté des Sciences de Tou- 
louse.. » - 
GÉOMÉTRIE. — Sur les arcs des courbes planes. Note de M. G. Humserr, 
présentée par M. Halphen. 
. « Le beau théorème de Graves et de Chasles sur les arcs de coniques 
peut être présenté sous la forme suivante : | 
» Si l’on mene les tangentes communes à un cercle et à une conique, les 
quatre points de contact sur cette dernière courbe déterminent deux arcs, dont 
la somme algébrique est égale à la somme algébrique des longueurs des tan- 
gentes communes. 
» Sous cette forme, le théorème précédent est susceptible d’une exten- 
sion aux courbes algébriques quelconques; on peut voir en effet que : 
» Si l’on mene les tangentes communes à une courbe algébrique de classe n 
et à un cercle, et que l’on fasse ensuite varier le rayon de ce cercle, son centre 
restant fixe, les 2n points de contact des tangentes communes et de la courbe 
décrivent sur celle-ci 2 n arcs, dont la somme algébrique est égale à la variation 
de la somme algébrique des longueurs des tangentes communes. | 
» En particulier, si l’on considère, parmi les cercles concentriques in- 
troduits, celui dont le rayon est nul, on voit aisément que la longueur de 
chaque tangente menée du centre de ce cercle à la courbe est comptée 
deux fois, et avec des signes contraires dans la somme algébrique des lon- 
gueurs des tangentes communes, et il en résulte aisément cette propriété, 
qui est la généralisation directe du théorème de Chasles donné plus haut : 
» Si l’on mène les tangentes communes à un cercle et à une courbe algé- 
brique de classe n, les 2n points de contact déterminent sur cette dernière 
courbe n arcs dont la somme algébrique est égale à la somme algébrique des 
longueurs des tangentes communes. 
» Ces propriétés sont des cas particuliers d’un théorème plus général, 
que l’on démontre par des considérations fondées sur le théorème d'Abel, 
et dont voici l'énoncé : 
» Si l’on mene les tangentes communes à une courbe algébrique quelconque 
et à un faisceau tangentiel de courbes de direction homofocales, représentées 
en Coordonnées tangentielles par l “équation 
(u +0?) F(u, v) — ro (u, 0) = 0, 
