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mutant ż et u dans les précédentes, on a. 
ss D +: Diè .: Dia — DA, 
(3) F TERT F OA, — ô, å 
(ces expressions peuvent se simplifier ). Exprimons I et J en fonction des 
coefficients a, b, c, on trouve 
(4) I=¢—b+Ẹ =A, 1=— Y (e+ F) Habt — CSD 
Ces égalités équivalent aux suivantes : 
DH AA EE 0 ‘DLL Ada) 
Inversement, l'intégrale générale du système (4) est de la forme (2). 
» Si a, b, c sont râtionnels, et si l'intégrale de (4) est algébrique, les 
valeurs d’un système (t, u), pour une valeur donnée de x, forment un 
groupe fini (+) de substitutions linéaires. Soient o(4,u), à(t, u) les deux 
fonctions invariantes fondamentales qui correspondent à ce groupe. 
» Ona 
p(&u)=P(x), (t, u) = Q(x), 
P et Q étant deux fonctions rationnelles de x. Remplaçons, dans les équa- 
tions (4), & etu en fonction de P et Q : nous obtenons deux équations (4'), 
où figurent les dérivées de P et Q jusqu’au quatrième ordre, et dont les 
coefficients sont des fonctions rationnelles des dérivées de ọ et Ÿ, par 
suite, des fonctions rationnelles de ż et 4, qui ne changent pas par les sub- 
stitutions du groupe («) et s'expriment rationnellement en P et Q. Siọ et Y 
étaient deux fonctions invariantes quelconques de (x), les mêmes coeffi- 
cients seraient des fonctions algébriques de P et Q : cette dernière conclu- 
sion subsiste si le groupe («) est hyperfuchsien. 
» Les équations (4) donnent les valeurs de A et B en fonction de P 
et Q, et permettent ainsi de former toutes les équations (1) où a, b, c sont 
rationnels et dont l'intégrale générale est algébrique. Quand le système (4) 
est intégré, l'équation (1) se ramène à une quadrature; on exprime, en 
effet, que Yis iYi, UY, satisfont à l'équation (1), ce qui donne trois rela- 
tions d’où l’on tire S et l’on trouve que 
1 
ER E 
j =i enj ada 
(5) pou el." 
