( 1831 ) 
» Pour que liniégrale de (1) soit algébrique, il faut donc et il suffit : 
1° que a soit la dérivée logarithmique d’une fraction rationnelle; 2° que 
l'intégrale de (4) soit algébrique, autrement dit, que, pour un groupe (x), 
les équations (4) admettent un système d'intégrales (P, Q) rationnelles. Je 
dis qu'on peut toujours reconnaître, par un nombre limité d'opérations, 
si l'intégrale de (1) correspond à un groupe fini donné (x). 
» En effet, en posant 
1 
y= ve 7 a 
on ramène l'équation (1) à une forme où a est nul, et l’on a 
(5) Y= C(u ruy”. 
» Soit n l'indice du groupe; Y est une fonction algébrique de x ne pre- 
nant pas plus de 37 valeurs, et il suffit de reconnaitre si l’équation (1) 
admet une telle intégrale, question qu’on peut résoudre de bien des ma- 
nières. Par exemple, on forme l'équation à laquelle satisfait le produit 
M(x) 
N(x)’ 
et, ces intégrales une fois formées, on a aisément une limite du degré en x 
de l’équation f(y, x) = o qui définit l’intégrale de (1). 
» Mais il convient de remarquer que, parmi les groupes ternaires, il en 
est dont l'indice est indéterminé, à savoir les groupes analogues aux 
groupes du dièdre, dont les substitutions canoniques s’obtiennent, sous 
forme homogène, en multipliant les variables z,, 33, Z, respectivement 
par e, £, e” (e, e', #’ étant des racines x" de l'unité), et en permutant 
ces quantités de toutes les manières. 
=» Tous les autres groupes à indice indéterminé sont des sous-groupes 
des précédents, qu'il suffit de considérer exclusivement. Les valeurs de 
(t, u), si elles correspondent à un tel groupe, sont de la forme 
Yı Ya. Yns On cherche si elle admet des intégrales de la forme v 
t= tir LH t =: 
Ft, ( t —eu, Ga: à ur. 4 AS 45 NH 
t A 
U= cl, | U= il: e, IF. a2. | TS dé 
à ‘ LT Hs ANT) u +” 
et la formule (5’) montre qu’alors une intégrale y, de l'équation (1) peut 
s'écrire a | 
Y= Vg(x), | 
g(æ) étant définie par une relation f(g,æx) —.0 du troisième degré en g. 
