( 1832 ) 
Il en résulte que l’équation (1) se ramène dans ce cas à une quadrature, 
ainsi que je le montrerai, si l'Académie le permet, dans une Note pro- 
chaine, où j'étendrai en même temps ces résultats aux équations d’ordre 
supérieur ou aux dérivées partielles. La conclusion à laquelle nous arri- 
vons, en définitive, est la suivante : Étant donnée une équation linéaire et 
homogène du troisième ordre, on peut toujours reconnaître, par un nombre 
limité d'opérations purement algébriques, si son intégrale est algébrique ou ra- 
mener l'équation à une quadrature. » 
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations aX’ + bY’ = cZ?, 
aX'+0Y'+ dX’ Y’? = cZ’; par M. Dessoves. 
« Soit d’abord l'équation 
(1) GA EOY SCIS 
dans laquelle on suppose c égal à a + b. On fait x = y = z = ı dans le 
système (2) de ma première Note, puis on efface les accents. On a ainsi les 
formules 
(a) X=a(a—b)x—b(3a+ bjy x — 2beyz, 
ä | Y =b(b— ajy’ —a( a+ 3b)x?y — zac xz. 
» Javais obtenu autrefois des formules équivalentes, mais moins 
simples, 
X = a(a — bjx’ + 4abyx? — b(3a + b)y’ æ 
+ 20cy° — [(a — b) x + 2byl]ez, 
63) Y = b(b — a)y’ + 4ab xy? — a(a + 3b)x?y 
+ 2acx’ — |(b — a)y + 2axz]cz. 
(On n’a pas écrit les expressions de Z à cause de leur complication rela- 
tive.) z prenant le double signe, les deux systèmes précédents donnent, 
en général, deux solutions correspondant à une même solution (x, y, 3) 
comme les formules du sixième degré qu’on peut leur associer, mais avec 
cette particularité qui leur est propre de ne jamais faire connaître qu'une 
solution nouvelle. Pour rendre compte de ce fait, j'ai résolu les équations 
(2) et (3) par rapport à x, y, z. 
» D'abord des formules (3) on déduit les valeurs obtenues pour æ, y, 3 
en y remplaçant X, Y, Z, respectivement, par x, y, s et réciproquement. 
