( 1833 ) 
Mais, si l'on traite la même question par la nême méthode pour le système 
(2), on obtient pour x, y, au lieu de formules du troisième degré, des for- 
mules du second degré. De là il fallait nécessairement conclure que les 
formules (2) et (3) pouvaient être remplacées par des formules équiva- 
lentes du second degré pour X et Y. Voici une démonstration directe : E, 
G, H, L étant des constantes à déterminer et X, Y, x, y des variables, on 
écrit l équation 
(4) DUR GY?y? — 2LXY zy — H(X?y + Y? T 0; 
qui ne change pas par les permutations de X, x et de Y, y. On en déduit 
5 Y _ LXY + V(L?— EG — ne RES CS 
( ) I — Hr? + Gy? 
» Posons maintenant 
L’? — EG — H? = 0 H=—«a—b Rte Lane G— (a B), 
Œ — 0 d — 
» On tire de là 
Le = 
? 
(a— b) + 16ab(a +b} _ (a+ b+ bab) 
(a=b? (4—07 
et, par suite, en supprimant un dénominateur commun 4 — b, on a 
L= a? + b’ + bab, 
H (a Le à 
E — 4a(a + b), 
G = 4b(a +b). 
» En substituant ces valeurs de L, H, E, G dans l'équation (5), on aura 
a LAR b? + 6ab)æy + 2(a+b)}(a—b)Vax* + Le 
—(a—b} x + 4b(a+b)y? 
ou, (x, y, z) étant ce une solution de l'équation (1), 
_ [ac—(a—b}]zy+ac(a—b)s 
(6) z= — (a — b} r? +4 bey’ 
» Or, si l’on admet que (X, Y, Z) soit une solution de l'équation (1), 
on peut écrire aussi 
n pe — (a — b} ]XY + 2c(a — b)Z 
(7) 2 = La = XIE bc Ye 
C. R., 1887, 1" Semestre. (T. CIV, N° 26.) 
