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indépendantes; et si, alors, comme il arrive d'ordinaire, le coefficient de | 
la plus haute puissance de D,, dans équation caractéristique, se réduità 
l'unité, la fonction principale se trouvera complétement déterminée par 
la double condition de vérifier l'équation caractéristique dont l’ordre sera 
un certain nombre entier z, et de s’évanouir, pour une valeur donnée, par 
exemple, pour une valeur nulle du temps, avec ses dérivées relatives au 
temps et d’un ordre inférieur à 2—1. Quant à la dérivée de l’ordre n—1, 
elle devra se réduire, pour une valeur nulle de la variable indépendante t, 
soit à une constante donnée, soit à une fonction donnée des autres va- 
riables indépendantes, suivant qu'il s’agira d'intégrer des équations diffé- 
rentielles linéaires, ou des équations linéaires aux dérivées partielles. 
» Pour évaluer la fonction principale telle que je viens de la définir, j'ai 
eu recours dans les Exercices d'Analyse à la formule de Fourier, ou plutôt 
à une formule du même genre que j'ai substituée à la première, et fait 
servir à l'intégration des équations linéaires aux dérivées partielles dans 
le x1x° cahier du Journal de l'École Polytechnique. Lorsque les équations 
données se rapportent à un problème de physique ou de mécanique, elles 
renferment en général, avec le temps £, trois autres variables indépen- 
dantes, qui peuvent être censées représenter des coordonnées rectangulaires; 
et la fonction principale, calculée comme je viens de le dire, se trouve 
représentée par une intégrale définie sextuple. Pour reconnaître les lois 
des phénomènes, on est obligé de faire subir à cette intégrale sextuple 
diverses réductions. Parmi ces réductions on doit particulièrement remar- 
quer celles qui se rapportent au cas où l'équation caractéristique est — 
homogène. Alors, comme je lai prouvé en 1830, l'intégrale sextuple est 
généralement réductible à une intégrale quadruple. Elle sera même, comme … 
je viens de le montrer dans le précédent Mémoire, réductible à une inté- 
grale double, si la valeur initiale de la fonction principale prend certaines 
formes particulières , si, par exemple , elle dépend uniquement de la dis- 
tance d'un point variable à l’origine des coordonnées. -: 
_ »L’importance des réductions que je viens de rappeler m’a engagé à 
rechercher s’il ne serait pas possible d'obtenir directement les formules 
_ réduites. J'ai été assez heureux pour y parvenir. On verra dans cenouvean 
Mémoire qu’en se servant du calcul des résidus, on peut non-seulement 
obtenir avec une grande facilité la fonction principale correspondante 
une équation différentielle caractéristique, mais encore passer: de cette 
fonction principale à celle qui vérifie une équation caractéristique aux | 
dérivées partielles, homogène ou non homogène, et en particulier, à . 
