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CALCUL DES RÉSIDUS. — Rapport sur un Mémoire de M. Ovrnamare, 
relatif au calcul des résidus. 
(Commissaires, MM. C. Sturm, Cauchy rapporteur.) 
« PAcadémie nous a chargés, M. Sturm et moi, de lui rendre compte 
d’un Mémoire présenté par M. Oltramare, et qui a pour titre: Recherches 
sur le calcul des résidus. On sait que les principes de ce nouveau calcul, 
développés par lun de nous en 1826, ont été, depuis cette époque, ap- 
pliqués non-seulement à l'intégration des équations linéaires et à la solu- 
tion des problèmes de physique mathématique, mais encore à la détermi- 
nation des intégrales définies et à diverses questions d’analyse, soit par 
l’auteur lui-même, soit par d’autres géomètres, parmi lesquels on doit 
distinguer MM. Tortolini, Richelot, Ostrogradsky et Bouniakowski. Les 
recherches de M. Oltramare sont principalement relatives aux propriétés 
dont jouissent, dans le calcul des résidus, deux fonctions inverses l’une de 
autre, c’est-à-dire deux variables dont chacune est déterminée en fonc- 
tion de l’autre par une équation algébrique ou même transcendante. Parmi 
les théorèmes qu’établit M. Oltramare, nous en citerons d’abord un qui se 
rapporte au cas où l'équation donnée est algébrique, et qui se trouve 
énoncé dans les termes suivants : 
» Si @(z) est une fonction quelconque de la variable z , uniforme ou mul- 
tiforme , donnée par une équation algébrique, et qui, pour des valeurs infi- 
nies réelles ou imaginaires de z, conserve une valeur finie , le résidu inté- 
gral de la somme des valeurs de cette fonction sera précisément égal au 
résidu intégral de la somme des valeurs de sa fonction inverse. M. Oltra- 
mare observe avec raison que le théorème s'étend au cas même où l’on 
remplacerait la fonction inverse de @(z) par ce qu’il nomme la fonction 
inverse de seconde espèce , C’est-à-dire, pour parler exactement, par la fonc- 
tion inverse de la somme des valeurs de @(2). 
» La démonstration que donne M. Oltramare du théorème énoncé, 5€ 
déduit rigoureusement de la règle établie pour la détermination du résidu 
intégral d’une fonction à la page 134 du premier volume des Exercices de 
Mathématiques. On pourrait même simplifier cette démonstration , comme 
nous allons le faire voir. í 
» Considérons une équation algébrique entre x et y, dont le premier 
membre soit une fonction entière du degré m par rapport à x, du degré 
n par rapport à y, et du degré m 4n par rapport au système des deux 
