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raux sur lesquels s'appuie la nouvelle méthode. D’autres articles en of- 
friront l'application au calcul des mouvements des corps célestes. 
» Le présent Mémoire est divisé en deux paragraphes. 
» Le premier paragraphe est relatif à certaines propriétés des fonctions 
entières et réelles des sinus et des cosinus d’un même angle. Il est aisé de 
voir qu'une semblable fonction peut toujours être transformée en une fonc- 
tion rationnelle d'une seule variable, savoir, de la tangente trigonomé- 
trique de la moitié de cet angle. J'en conclus que si, après avoir égalé à 
zéro une semblable fonction, on résout l'équation ainsi formée, par rap- 
port à l’exponentielle trigonométrique dont l'argument est l’angle ci-dessus 
mentionné, on obtiendra des racines qui, prises deux à deux, offriront 
pour modules deux nombres inverses Yun de Pautre. D'ailleurs des for- 
mules, que j'ai données dans les Exercices de Mathématiques, fournissent 
divers moyens de décomposer l'équation dont il s’agit en deux autres 
qui offrent, la première toutes les racines dont les modules sont infé- 
rieurs à unité, la seconde toutes les racines dont les modules eaae 
l'unité. 
» Le deuxième re est relatif au aitu du terme général, dans 
le développement d’une fonction en série de termes proportionnels aux 
diverses puissances entières, positives, nulle, ou négatives, d’une exponen- 
telle trigonométrique. On prouve aisément que le coefficient du terme gé- 
néral peut être représenté par une intégrale relative à langle qui sert Q'ar- 
gument à l’exponentielle, la différence entre les valeurs extrêmes de cet - 
angle étant la circonférence même. Considérons, en particulier, le cas où 
cette intégrale représente le coefficient de la #°"* puissance de l'exponen- 
tielle trigonométrique, la valeur numérique de n étant un nombre très-con- 
sidérable ; et supposons d’ailleurs que la fonction donnée offre pour facteur 
une puissance négative, entière ou fractionnaire d’une fonction réelle et 
entière du sinus et du cosinus de l'argument. Si équation auxiliaire q 
Pop ohtieniära en “égalantc se fonction à zéro est résolue par rapport à 
, ON pourra, sous certaines conditions que 
le calcul eee ©), déduire de cette résolution la valeur de l'intégrale 
exprimée à l'aide d’une série très- -convergente ; et même, PE obtenir le 
(*) Les conditions dont il s’agit sont que les modules de toutes les racines diffèrent 
de l'unité; que, parmi les modules supérieurs à l’unité, le plus petit surpasse ÿ/2; 
enfin que le double de celui-ci soit inférieur à chacun des suivants, diminué de 
l'unité. 
