( 349) 
ìà 
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — [Vote sur une nouvelle méthode pour trouver le 
plus grand commun diviseur des nombres entiers, ou des polynomes 
algébriques, et sur l'application de cette méthode aux congruences du 
premier degré; par M. J. Biner. 
« Le système d'opérations régulières qui ma conduit au théorème sur 
les nombres premiers, que j'ai eu l'honneur de communiquer, il y a 
quinze jours , à l'Académie, fournit des relations remarquables concernant 
la résolution des congruences du premier degré. Il conduit aussi à une mé- 
thode pour trouver le plus grand diviseur de deux nombres entiers; elle 
procède d’une manière différente de la méthode ingénieuse qu'Euclide 
nous a transmise, En appelant l'attention des analystes sur ce procédé, 
.ce ne peut être dans l’intention de conseiller l'abandon de la méthode 
Euclide, qui est probablement moins laborieuse pour lArithmétique 
que celle que nous allons indiquer ; mais celle-ci a sur l’ancienne méthode 
l'avantage d'offrir des relations analytiques moins compliquées, pour 
exprimer la dépendance qui existe entre le grand diviseur de deux nom- 
bres, ou de deux polynomes, avec les quotients qui ont été formés dans 
les divisions successives, ainsi qu'avec les deux nombres donnés, ou les 
deux polynomes proposés. Ces relations peuvent recevoir des applications 
utiles dans la théorie des équations et ailleurs. On sait que la méthode du 
plus grand diviseur est la base des opérations les plus importantes de 
cette partie de lAlgèbre. Je me réserve de développer plusieurs consé- 
quences analytiques des nouvelles relations que-je signale en ce moment, 
à moins que je n’en sois dispensé par quelque analyste habile. Je vais ex- 
poser ici le nouveau procédé dont je viens de faire mention, pour les nomi- 
bres entiers; on verra sans peine qu’il AR aux polynomes algébri- 
ques et entiers. 
» Soient À et a deux entiers quelconques, et À >a: 
on divisera À par a; soit p. le quotient et — a, le résidu; 
on divisera A par a,; soit p, le quotient et — a, le résidu; 
on divisera A par a,; soit p,le quotient et — 4, le résidu: 
on continuera ces divisions successives jusqu'à ce que lo 
une division qui s'effectue sans reste; elle sera représe 
À = an Pa, le nombre des divisions étant n + 
