( 843 ) 
divers problèmes. Cette nouvelle formule sert à convertir le reste qui com- 
plète la série de Taylor, en une autre série dont les divers termes sont res- 
pectivement proportionnels, non plus aux dérivées de divers ordres de la 
fonction que l’on considère, mais aux dérivées de même ordre de cette 
fonction et de plusieurs autres qui forment avec elle une progression géo- 
métrique dont la raison est la variable même. D'ailleurs la nouvelle sériejouit, 
comme la série de Taylor, de cette propriété remarquable que, si on l’arrête 
à un terme donné, il sera facile de calculer une limite de l'erreur cam- 
mise en vertu de l’omission des termes suivants. Dans plusieurs cas, par 
exemple, quand la fonction donnée se réduit à une puissance d’un binome, 
la nouvelle série peut converger tres-rapidement dans ses premiers ter- 
mes, et elle fournit alors le moyen de calculer sans peine, avec une grande 
approximation, le reste propre à compléter la série de Newton. Ce n’est 
pas tout; les développements de diverses fonctions transcendantes peuvent 
être complétés de la même manière par des séries qui, étant très-conver- 
gentes dans leurs premiers termes, permettent d'évaluer avec facilité les 
restes de ces développements. Parmi ces fonctions on doit distinguer les lo- 
garithmes, les arcs de cercle correspondants à une tangente ou à un si- 
nus donné, diverses intégrales définies, etc.. 
» Je viens d'indiquer les principaux ps auxquels conduisent les 
formules que renferme le présent Mémoire. Dans un second article je mon- 
irerai la grande utilité de ces formules appliquées à la mécanique céleste, 
et en particulier au développement de la fonction perturbatrice. 
ANALYSE, 
§ I. Considérations générales. 
» Soient f(x) une fonction de la variable x, et 
x _- X eV: 
uue variable imaginaire dont le module X soit supérieur à æ. Si la fonc- 
tion f(x) et sa dérivée du premier ordre restent finies et continues PO 
un module de x inférieur à X, on aura 
Tr? 
(x) | f(x) = se pa 
