( gti ) 
quences dignes de remarque. Pour en donner une idée, considérons une 
fonction rationnelle quelconque de la variable æ. Cette fonction ration- 
nelle pourra être regardée comme formée par l'addition d’une fonction 
entière, et de diverses fractions simples dont chacune sera proportionnelle 
à une puissance négative d’un binome. Or, une telle puissance étant tou- 
jours développable, ou suivant les puissances ascendantes, ou suivant les 
puissances descendantes de la variable, suivant que le module de cette 
variable est inférieur ou supérieur au module du terme constant du bi- 
nome, on doit en conclure qu’une fonction rationnelle de la variable x 
sera, pour un module donné de æ, toujours développable en une série 
convergente dont les divers termes seront proportionnels, les uns aux 
puissances entières positives , les autres aux puissances entières négatives 
de la variable, et dont la somme représentera cette fonction quel que soit 
l'argument Le la variable. Cela posé, concevons que, par un moyen quel- 
conque, on soit parvenu à déduire immédiatement une semblable série de 
la fonction rationnelle donnée, sans recourir à la décomposition de la 
même fonction rationnélle ën fractions simples. Cette nouvelle série de- 
vra, en vertu du quatrième théorème, se confondre avec la première. A 
l’aide de cette seule observation, on peut facilement établir non-seulement 
les formules connues qui servent à déterminer les sommes des fonctions 
semblables des racines d’une équation algébrique donnée , mais encore une 
multitude d’autres formules, par exemple, celles qu'ont obtenues La- 
grange, Laplace et Paoli pour le développement en série d’une fonction 
de la racine la plus rapprochée de zéro, ou de la somme des fonctions 
semblables de plusieurs racines. On peut même, à l’aide du quatrième 
théorème, prouver que ces diverses formules sont applicables non-seule- 
ment aux racines des équations algébriques, mais encore, sous certaines 
conditions, aux racines des équations transcendantes. 
ANALYSE. 
» Si une équation de la forme 
asta, x+ a, £+ .,.. =0 
+ id ; 
subsiste, pour tout module de la variable x inférieur à une certaine li-. 
mite, il suffira de réduire x à zéro dans cette équation multipliée par un 
me TT 
