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mes leçons orales à l'Ecole Polytechnique. Je me bornerai à énoncer le 
suivant. ; 
» 5€ Théorème. Supposons qu'une aire plane, renfermée dans le péri- 
mètre $ d’un polygone convexe ou dune courbe convexe, ait été partagée 
en rectangles égaux et très-petits par deux systèmes de droites parallèles 
à deux axes donnés. Soient A, k, les dimensions de chaque rectangle, me- 
surées parallèlement au premier et au second axe. Soient encore M et K 
les projections du contour S sur le premier ou sur le second axe. Si Pon 
prend pour valeur approchée de l'aire 4 la somme des rectangles qui sont 
entièrement renfermés dans cette aire, sans être traversés par le contour S, 
l'erreur commise sera inférieure au double de la somme 
; hK + kA. 
» Considérons maintenant une aire plane 4 renfermée entre les périmètres 
de deux polygones construits de manière que les côtés du second poly- 
gone, parallèles à ceux du premier, en soient constamment séparés par la 
distance h. Laire 4, composée de trapèzes dont les hauteurs seront égales 
à h, aura évidemment pour mesure le produit de la distance % par la 
demi-somme des périmètres des deux polygones donnés, ou, ce qui re- 
vient au même, par le périmètre d’un troisième polygone dont chaque 
côté divisera la distance Å en parties égales. Or, il suffira de transformer ce 
troisième polygone en une courbe plane dont le rayon de courbure surpasse 
constamment la distance #—21h, pour obtenir la proposition suivante. 
» G° Théorème. Supposons que le centre d’un cercle, dont le diametre 
est 24, se meuve, dans un plan donné, sur une courbe fermée, -dont le 
rayon de courbure surpasse constamment le rayon À. Laire comprise 
entre les deux enveloppes intérieure et extérieure de l’espace parcouru par 
le cercle, aura pour mesure le produit i 
aks, 
S désignant le périmètre de la courbe. 
» Le théorème précédent fournit un moyen facile de trouver la limite. 
de l'erreur commise, quand on substitue à l'aire d'une courbe plane, 
d’un polygone inscrit ou circonscrit à cette courbe. 
» Il peut aussi fournir des relations entre des intégra 
