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comprise entre les deux enveloppes. On aura , en supposant r° < ne 
(9) 4 =} [7 (ir) dp. 
D'autre part le périmètre S de l’ellipse sera, comme l’on sait, déterminé 
par la formule 
(10) S=a f" Vie? cos*® do. 
Donc, en vertu du 6° théorème, on aura 
(11) $ (ri — r )idp= 4ak f7 Vi: cos? d@. 
Ainsi se trouve établie une relation entre deux intégrales définies, dont 
la première a cela de remarquable que la fonction sous le signe f dé- 
pend uniquement de deux racines réelles d’une équation du 4° degré. 
» La formule (11) peut être aisément vérifiée dans des cas particuliers; 
et d’abord, si l’on suppose b =a, ou, ce qui revient au même, e =o , les 
formules (8) et (7) donneront 
= iak, = Hal. re (a-=.t):. 
On aura donc alors 
m =r = (a+k)  — (a—k} = 4ak , 
et par suite 
a ee 
F (r: — r3) dp = Bakr ,. 
comme le donnerait la formule (ri). ; 
» En second lieu, si Pon suppose À très-petit, la formule (8) donnera 
sensiblement l ee a 
*  Cos®p , sin?p 
(1 2) à FE = k" ar 5 
: : To nhac ; COS sa P 
TRUR + b4 
et, en nommant © la valeur positive de 8 fournie: par l'équation ( 12), on 
