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gatives d’une équation de degré quelconque. Le mémoire qui renfermait 
cette méthode, présenté à l’Institut dans la séance du 17 (mai 1813, et 
approuvé sur le rapport de M. Poisson, est précisément celui duqnel il 
résulte que, pour une équation de degré quelconque, on peut toujours 
obtenir des fonctions rationnélles ét entières dés coefficients, tellement 
choisies que, si l’on remplace chacune d’elles par + 1, quand elle est po- 
sitive ; par— 1, quand elle est négative, la somme des quantités + 1 où —1 
ainsi trouvées, est précisément égale au nombre des racines réelles com- 
prises entre des limites données. (Voir le rapport de M. Poisson, l'exposé 
sommaire de la méthode imprimée chez M™° Courcier, avec la date du 
17 mai 1813, et le Journal gà l'École: Polytechnique.) 
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Prřessé'par le temps, je n’ai.pu développer la pensée qu’exprimait les der- 
nières lignes de ce mémoire ,-étje me suis vu obligé d’omettre la démonstra- 
tion du 8° théorème, Ce théorème qu’on peut généraliser encore , entraîne 
comme conséquences les propositions sur le nombre des racines imagi- 
naires énoncées dans le mémoire de 183r, et, pour les en déduire, il suffit 
de prendre pourf (x,y) et F(x,r), la partie réelle et le coefficient de Ÿ—1 
dans une fonction entière de la variable imaginaire x + y V/— 1. 
» Dans ce cas, et dans beaucoup d’autres, par exemple, lorsque 
la fonction ® (x,y) x x.y) — $ (x,r) X(æ,7) reste continue et ne s’éva- 
nouit Pas Errtretesslimites données , le théorème est exact, et la démonstra- 
tion que j'ai indiquée subsistemwe.on peut se demander si l’on doit 
conserver l’énoncé du théorème dans toute sa généralité. MM. Sturm et 
Liouville se sont prononcés pour la négative, et ns vut eu raisom: Hs ont- 
fait l'observation très juste quinn.examen attentif de cette démonstration - 
même, devait conduire à et is qu'ils manifestent ; et j'avouerai à ce su- 
jet, que trouvant cette démdnstration trop peu développée dans ma- 
lettre du 22 avril, j'avais entrepris, dès le 24 , la rédaction d’une note plus. 
étendue que je me proposais d'adresser à l’Académie; mais arrivé à la 
13° page de cette note, je mé trouvai arrêté par quelques difficultés qui 
me firent prendre le parti d’en‘ajourner l'envoi jusqu’au moment où l’on 
aurait publié dans les Comptes rendus les démonstrations des autres théo- . 
rèmes relatifs à la résolution des équations, et que j'avais précédemment - 
énoncés. En conséquence , à peine rétabli d’une indisposition assez grave, 
je profitai des premiers moments. de loisir pour exposer la nouvelle mé- 
thode de résolution des équations qui se trouve développée dans mes deux 
tnes 
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