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MÉMOIRES PRÉSENTÉS. 
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Nouvelles recherches sur la détermination des 
intégrales dont la valeur est algébrique; par M. Josepx Liouvire. 
« On nomme fonction algébrique d’une variable indépendante x toute 
fonction y qui se être RS comme la racine d’une équation de ia 
forme 
G) mo o D 
Bii M, N étant des polynomes entiers ou des fractions rationnelles en x- 
Cette équation est irréductible quand son premier membre n’est divisible 
par aucun pólynome de même fôrme que ce premier membre, mais de 
degré inférieur à y par rapport à y. Dire qu’une fonction algébrique est 
donnée, c’est dire que lon possède l’équation irréductible (1) qui la dé- 
termine, ou du moins un ensemble de formules d’où l’on pourra, s’il est 
nécessaire, conclure cette équation par des calculs plus ou moins longs. 
» Je désignerai par z l'intégrale f'ydx de la fonction algébrique y. Comme 
cette intégrale est, suivant les cas, algébrique ou transcendante, il était 
bon d’avoir une méthode certaine pour décider si la quantité z est expri- 
mable ou non en termes algébriques, et pour en trouver la valeur lorsque 
la dernière hypothese a lieu. Cette méthode, que je crois avoir donnée le 
premier, est consignée dans mes deux mémoires sur. la détermination des 
intégrales de valeur algébrique , dont l'Académie, sur le rapport de 
M. Poisson, a bien voulu. ordonner l'insertion dans le Recueil ae Savans 
étrangers Ga 
-a Elle se compose Le deux parties diatinictes: Je cotbilbre en premier 
Bai les intégrales rationnelles d’un système d'équations différentielles 
linéaires d'un ordre quelconque, à coefficients rationnels; et je fais voir 
-comment on peut trouver ces intégrales quand elles existent, ou du moins 
démontrer qu’elles n'existent pas. En second lieu, je prouve que la valeur 
de z Z, si elle est algébrique , se ramenèra toujours à la forme 
ere te Rep 
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(*) Voyez aussi le XXH" cahier du Journal de l'École rrecnes , ét le tome X 
du Journal de M. Crelle. 
