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a, B,7,:....X étant des fonctions rationnelles de x, liées à cette va- 
riable par un nombre égal d'équations différentielles linéaires. Tout se 
réduit donc à chercher, par le procédé dont on a parlé plus haut, les inté- 
grales rationnelles de ces équations linéaires : s’il n’existe pas de telles 
intégrales, la quantité z ne sera exprimable par aucune fonction algébri- 
que de x, et, dans le cas contraire, pour obtenir z, il suffira de déter- 
miner a, B, Ye.A. 
» La méthode que je viens de rappeler en peu de mots ne laisse rien à 
désirer sous le rapport de la rigueur; mais dans la pratique, elle est sus- 
ceptible de quelques simplifications que je me propose d’exposer ici, sans 
sortir néanmoins du cercle des généralités. 
» 1°. D'abord, il existe un moyen très simple de former les w équations 
différentielles linéaires qui déterminent les w inconnues g, B,%,.....a, 
en fonction de x. Toutes ces équations se déduisent en id dote Tori 
dy l da BT du, 
Sm+1 = Su + Sapi a + Sn * ARS + Smtu—r = E TRAE : dé 
a m42” Sas te: he ——— m bar Lx _? 
dans laquellé S,, pou la somme des parce mie, des racines de lé- 
quation (1), Sme: la somme de leurs uissances (m- ma i 
successivement m=0, M—1,... m=p—:;, on obtiendra les. sp équations 
demandées, savoir : 
d 
NM SN L + etc., 
Su = oi = + etc., : 
dont la première ( en observant que S, = L} donne immédiatement 
S'Ldæ == aS BS, iii RAS. 
» 2°. Supposons que les coefficients L,.....M,N soient entiers par rap- 
portà x; etnommons 4 le dernier terme de l'équation aux carrés des dif- 
férences da racines de l'équation G ): si l’on pa 
