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groupes fuchsiens, peut me donner la solution du problème plus général 
que j’aborde aujourd’hui, 
» 4. J'écrirai, pour abréger, ps et pst pour pseudogéométrique et pseudo- 
géométriquement. J'appelle plan ps toute sphère ayant son centre dans le 
plan des xy, droite ps l'intersection de deux plans ps; l'angle ps de deux 
courbes est égal à leur angle géométrique. Si l’on considere deux points 
quelconques a et b, on pourra par ces deux points mener une droite ps 
qui coupera le plan des -xy en deux points c et d; le demi-logarithme du 
rapport anharmonique de a et b par rapport à c et d sera alors leur dis- 
tance ps. J'appelle polygone ps une portion de plan ps limitée par des 
droites ps, polyèdre ps une portion de l’espace située tout entière au-dessus 
du plan des æy et limitée par des plans ps ou par le plan des xy. Deux 
figures sont pst égales quand on peut établir entre elles une correspondance 
point par point et de telle sorte que les distances ps soient conservées. 
Grâce à ces définitions, les théorèmes de Lobatchewski trouvent leur appli- 
cation concrete (voir les travaux de M. Klein sur ce sujet dans les Mathe- 
matische Annalen). ; 
» 2. Considérons une substitution de la forme (1). Soit 
t=x+yV—x, 
et considérons x et y comme les coordonnées d’un point dans un plan. 
La substitution (1) transformera tous les cercles en cercles. Prenons main- 
tenant dans l’espace un point A; par ce point, je puis faire passer une 
infinité de plans ps qui viendront couper le plan des xy suivant différents 
cercles C. Ces cercles seront changés par la substitution (1) en d’autres 
cercles C’. Toutes les sphères qui ont même centre et même rayon que ces 
cercles C’ viendront se couper en un même point B. A la substitution (1) 
correspondra dans l’espace une transformation (A, B) qui changera toute 
figure de l’espace en une figure pst égale. A un groupe discontinu de sub- 
stitutions (1) va donc correspondre un groupe discontinu de transforma- 
tions (A, B). 
» 3. Pour construire tous les groupes discontinus de transformations 
(A, B), il faut diviser l’espace en polyèdres ps, pst égaux entre eux. Envi- 
sageons un de ces polyèdres ps; je distinguerai parmi ses faces celles de la 
première sorte, qui sont formées de plans ps, et celles de la seconde sorte, 
formées de portions du plan æy; les faces de la première sorte pourront 
être distribuées en paires, comme cela a lieu pour les polygones curvilignes 
