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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'équivalence des formes quadratiques ; 
par M. C. Jonpax. 
< IX. ProBLèmE. — Étant données deux formes quadratiques F et G à n 
variables et de méme discriminant AZo, reconnaitre si elles sont équivalentes et 
déterminer les substitutions à coefficients entiers qui transforment F en G. 
Lagrange et Gauss ont résolu cette question pour les formes binaires, 
et M. Hermite a traité le cas plus difficile des formes ternaires (Journal de 
Crelle, 47). On trouve d’ailleurs dans ses Mémoires tous les principes néces- 
saires pour étendre la solution au cas général. Cette belle méthode nous 
paraît toutefois avoir besoin d’être complétée dans le cas exceptionnel où 
la forme G serait équivalente à des réduites singulières par rapport à F. 
» Le problème se trouve résolu, au moins en Principe par le théorème 
suivant : 
THéoRëME, — Toute substitution à coefficients entiers qui transforme F 
en ë est un produit de substitutions à coefficients enliers et limités (en fonction 
des coefficients de F et de G), dont la première transforme F en G, chacune des 
suivantes transformant G en elle-même. 
` 
» TI suffira, en effet, d'un nombre limité d’essais pour reconnaitre s'il 
existe des transformations de F en G, et déterminer celles des transfor- 
mations de G en elle-même dont la combinaison reproduit toutes les 
autres. i 
» Nous pouvons supposer, dans la démonstration, le théorème établi pour 
les formes à moins de z variables. 
» X. Il existe évidemment une substitution £ à coefficients entiers ou 
non, mais limités, qui transforme F en G. Toute autre substitution Z qui 
opère cette transformation sera de la forme ts, s étant un produit de substi- 
tutions infinitésimales $4, S3, .., S; qui transforment G en elle-même. 
> Appliquons aux substitutions successives 
(1) Edp hiroa 
la méthode de réduction continuelle de M. Hermite. Il viendra, comme on 
sait, 
= tR(S, S3... S,)-', 
R étant une substitution réduite, et S4, . . ., S, des substitutions à coefficients 
C. R., 1881, 2° Semestre, (T. XCIII N° 4.) 25 
