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L, doit évidemment transformer f en f’. Le théorème étant supposé vrai 
pour les formes à deux variables, on aura 
= PP Pay 
P,,...,P,, étant des substitutions à coefficients entiers et limités, dont la 
12 °° m 
première transforme fen f’, les autres transformant f* en elle-même. 
» D'autre part, on a, par la théorie des substitutions linéaires, 
RES LEE 
Py1,..., P, étant des substitutions à coefficients entiers et limités. 
» Enfin, on vérifie immédiatement que la condition que L transforme H 
en H’ détermine sans ambiguïté les coefficients de M en fonction de ceux 
de L, et de L,, et ces coefficients seront limités si ceux de L,, L, le sont. 
» XIII. Cela posé, on aura 
Fe pf SEM 
» Considérons les formes successives 
Rale NE. P 
- Elles seront de l'espèce suivante : | 
(ax + b'y + Oz +...)w + (ax + Br + PRN Jo + J'{z, u), 
les coefficients désignés par des lettres majuscules étant seuls variables 
d’une forme à l’autre. 
» Groupons dans une même famille toutes les formes de cette espèce, 
qui sont transformables les unes dans les autres par une substitution à 
coefficients entiers et de l'espèce (4). Il est aisé de voir que le nombre À 
des familles possibles sera limité. [ Dans le cas actuel, il ne peut surpasser 
(NA)®1. 
» Cela posé, sir >} + 1, deux au moins des formes H,, H,_,,..., H,_;, 
par exemple H, et H,, seront de la même famille. Soit M, la substitution 
de l'espèce (4) qui transforme H, en H}. La substitution L sera le produit 
des deux suivantes : 
P= P, P, Aae P,M, Pre s.t P,M et L” =(M, Pres le PME Pr s: P,M, 
dont la première transforme H en H’ et la seconde H' en elle-même. 
D'ailleurs, les substitutions de l'espèce (4) formant évidemment un groupe 
