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». Construire une fonction fuchsienne F(z) ne pouvant prendre aucune des 
n valeurs données 
(1) _ RRE € 
» Si l’on assujettit, de plus, F(z) à pouvoir prendre toutes les valeurs 
possibles, à l’exception des valeurs (1), le nombre des paramètres dont on 
dispose est égal à celui des conditions que l’on s'impose. Si l’on ne s’assu- 
jettit pas à cette condition, le nombre des paramètres dont on dispose est 
infini. 
» Grâce à cette circonstance, il était extrêmement probable que le pro- 
blème était toujours susceptible d’une infinité de solutions; mais je ne 
l’avais encore démontré rigoureusement que dans des cas particuliers. Je 
vais faire voir que cela est encore vrai dans le cas général. 
» En effet, je répartis les valeurs (1) en deux classes : 
» 1° Les valeurs réelles &,, &, ..., Em? 
» 2° Les valeurs imaginaires @,,1, &m+2; +++» &ns que j'écris 
Br Ba ... Ph (p= ı = mj: 
» Soient f,, B2, ..., B, les valeurs conjuguées de £,, Ba, ..., Pp 
» Je me propose de construire une fonction F(z) ne pouvant prendre 
aucune des m valeurs réelles données &,, @a, ..., Xm, Ni aucune des 2p va- 
leurs imaginaires données (conjuguées deux à deux) ĝ,, ..., Bp, Bis ..., 
B, . Je vais faire voir que ce problème se ramène au suivant : Construire une 
fonction F,(z) ne pouvant devenir égale ni à m + 2q valeurs réelles données, 
ni à 2p — 2q valeurs imaginaires données conjuguées deux à deux. 
» Soit, en effet, 
g(x) = (x — pı) (x — Pa)... (£ — Pp) (x — P1) (x — pp); 
g(x) sera un polynôme de degré 2p, à coefficients réels. 
» L’équation 
dé ii 
de ——— 
aura 2p — I racines 
Yis Yes <--> Yap—13 
dont 2r —1 seront réelles, r étant au moins égal à 1; il restera p — r couples 
de racines imaginaires; 
». Soient 
o(a) = &, p(æ) = 2, via (am) = Ams 
P(n) = Ci p(ya)= Css i P (V2p-1) = Coprs 
