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» -Dans une Note publiée dans les Mondes (12 mai 1864), M. Radau est 
revenu sur la seconde partie du problème de Lagrange; par des transfor- 
mations ingénieuses, il est arrivé, pour déterminer les cosinus des angles 
que font les trois orbites avec un plan fixe, à trois équations différentielles 
simultanées du premier ordre; ces équations sont linéaires, et les coeff- 
cients des inconnues y sont des fonctions doublement périodiques. 
» Je citerai encore un travail plus récent de M. Hübner sur le même 
sujet (voir le Jahrbuch über die Forschritte der Mathematik, Vol. VIII, p. 739). 
L'auteur montre que les trois cosinus z, z', z” des inclinaisons des orbites 
sur un plan fixe vérifient le système suivant d’équations différentielles, 
dz n 
= As +B e Cz", 
d?z' / bn 1," 
== A'Z + B'z + C'z 
dé? ? 
diz” $ y 
= A'2+ B'2/+ C2, 
où les coefficients A, B, ... sont de la forme 
P + Q sin?amt, 
P, Q, À désignant des constantes 
» J'ai repris l'étude de cette même question, et j'ai été assez heureux 
pour obtenir les expressions analytiques de z, z', z”, en fonction du temps, 
et aussi celles des longitudes des nœuds, ce qui détermine entièrement les 
positions des plans des orbites; ces expressions contiennent seulement 
deux intégrales elliptiques de troisième espèce, en outre du sinus d'ampli- 
tude qui figure dans les inclinaisons mutuelles des orbites. 
» Soient 
a, a’, a” les demi-grands axes des orbites, 
9, 9", ?" leurs inclinaisons sur un plan fixe, 
9, 9’, 0” les longitudes de leurs nœuds ascendants, 
m, m’, m” les rapports des masses des trois planètes à celle du Soleil, 
a=a(i +m), a'=a{(it+m), a=a"(1+ m”). 
