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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les fonctions fuchsiennes. 
Note de M. H. Porxcaré, présentée par M. Hermite. 
« 1. Tai retrouvé par une autre voie un certain moyen d'exprimer les 
fonctions fuchsiennes par des séries, moyen dont j'avais déjà parlé dans un 
Mémoire antérieur, mais non dans les résumés insérés aux Comptes rendus. 
» J’envisage un groupe fuchsien G formé des substitutions 
i variant de o à l'infini, et je considère la série 
is 
p(z, a) = > + g (via O 
izp ST 
yia + di 
Siz était une constante eta la variable indépendante, cette série serait une 
fonction thétafuchsienne de a; mais je regarde au contraire z comme la va- 
riable et a comme une constante. 
» Soit 
az + 6 
s Jz +8 
une des substitutions fondamentales du groupe G. On trouve aisément 
(y + ajmag (ZEE) — g(a) 
y=: m —2 i= 
Ro ac I Epa 
y | —<°© 
Jia + ô; 
» Le second membre est un polynôme en z de degré 2m — 2 et dont les 
coefficients sont des constantes, fonctions thétafuchsiennes de a. 
» Cela posé, soit n le nombre des substitutions fondamentales de G mul- 
tiplié par.2m — 1. On pourra toujours, dans l'expression 
D(z) = À, (3,40) + À, (5,0) +... + A,g(z, a), 
choisir les constantes A et a de telle sorte que 
(yz +ò) mag(2tE) = Q(z). 
