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» On établira facilement, dans ce cas, que le système d'équations diffé- 
rentielles 
Q(z, r1)dxs + Q(X, Ya) dr Frans T's) dæ; q: 
LME) Jrad 2) Jr iltaa) 
Piza) i y% P (£3, a) d2 4i P(E, Ya) drz E 
Jil TIa) ACTE ACT Ja) 
a son intégrale générale algébrique. 
» De ce premier résultat il suit que l’on peut, avec les intégrales (1), 
former un système d'équations, comme dans le cas des intégrales abéliennes 
du premier genre. Considérons en effet les équations 
EE — 12) ma TO Q (Las Va) dxa dz, aa 
P Flirt Ti Yi) HET) (aY) i 
PE, dx "P(x,, dx 
( 1 Yı) 1 se ( 2 Ja) 2 —- v; 
a Ji) a. Jim Te) 
x, + X, et X, Xy ne sont plus des fonctions uniformes de x et de v, mais ces 
deux expressions sont racines d'équations algébriques dont les coefficients 
sont des fonctions uniformes de u et v. 
» Arrêtons-nous particulièrement sur le cas où la courbe f(x, y)= o 
est du troisième genre. On sait que, dans ce cas, le nombre des modules 
ou coefficients restant arbitraires dans la courbe normale est égal au nombre 
des constantes entrant dans la composition des fonctions © à trois variables, 
» Soit 
0, Os 19 @ a b 
(3) Le + 
FD; ls; 
le système des périodes des intégrales normales U, V, W correspondant à 
la courbe générale du troisième genre. L'expression linéaire AU + BV + CW 
aura seulement quatre périodes si on a les deux relations 
Cm Bn +Ap +{(Ax+BB+Cy)q +(AB+BD+Ce)r +(Ay+Be + Crs = 0, 
Cm'+Bn'+Ap'+(Au-+BB+Cy)g +(AB+Bd+Ci)r'+(Ay+Be +Cn)s'= 0; 
où les coefficients m, m', n, <.. sont des nombres entiers. S'il existe deux 
intégrales distinctes n’ayant que quatre couples de périodes simultanées, 
ces deux équations en À, B et C doivent se réduire à une seule, et l’on a, 
Par suite, 
p+ga+trB+s y  n+gB+rd+se  m+gy+re+sn 
(4) P+qa—+rB+sy n+qB+ri+se m+gy+rTe+sn 
