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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur des équations différentielles linéaires dont 
les intégrales vérifient des relations de la forme F{o(x)] = d(x)F(x). 
Note de M. ArPpezz, présentée par M. Bouquet. 
« Les fonctions F(x) satisfaisant à une relation de la forme F|p(x)|=F(x) 
ont fait l’objet de deux Notes que j'ai eu l'honneur de présenter à l’Aca- 
démie (Comptes rendus, t. LXXXVIII, p. 807 et 1022) et d’un Mémoire 
de M. Rausenberger, inséré dans le tome X VIIT des Mathematische Annalen, 
P. 379. Ces fonctions et les fonctions plus générales satisfaisant à une re- 
lation de la forme F[o(x)] = y (x) F(x) se présentent dans l'intégration de 
certaines équations différentielles linéaires, et en particulier dans l’intégra- 
tion des équations du second ordre. 
» I. Soit d’abord une équation différentielle linéaire d’ordre z, 
(1) SE 2 + flae) TEAS AR sur THE p (èy 0. 
Changeons la variable indépendante + en posant x = ọ(t), puis la fonction y 
en faisant y— z4(£); et supposons que l’on puisse déterminer les deux 
fonctions (t) et Y(£), de telle façon que l’équation entre z et £ prenne 
la forme 
dz 1 dr? 
(2) a HS) RO D + + hlt) =0, 
c'est-à-dire la forme (1) dans laquelle y serait remplacé par z et æ par £. 
Alors, si l'équation (1) admet la solution 7 —d(x), elle admet aussi les 
solutions 
D(x) = 7 dr le (a) 
L'on a de cette façon (n + 1) intégrales particulières de l’équation différ en- 
tielle (1), entre lesquelles a lieu une relation de la forme 
P(x) D, (æ) HDL) e H Anba (r) E= 0; 
