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.» Tout déterminant d, pouvant se mettre évidemment sous la forme 
donnée à À, (équation 3), nous développerons A,. 
». Ordonnons A, par rapport aux quantités a;. Le terme indépendant des 
a; est un déterminant identiquement nul : on le voit en ajoutant toutes les 
colonnes verticales à l’une d’entre elles. Le coefficient de — 4, est 
ET dés Za llag s.. Un 
Ugo — 3 en Uz n 
Una Uns s.. TERES Øn 
c’est-à-dire un d,_,, car 
Ga = (Uas + lla, + eee + Uan) + Uy 
Les coefficients de — a., de — a}, ..., sont aussi des òp. 
» Considérons maintenant un terme contenant p quantités a;, par 
exemple le terme qui contient 4,,4,,...,4,3; son coefficient est 
— Zp llptr,p+a +++. Uprrn 
= r}? Upa, pri E Eh +-2 + x Up+9,n 
Un, p+1 Un, p+2 LE — En 
c’est-à-dire un d,_,. On peut donc écrire 
A= ns Sd; Gai — (— 1} 24, aa Önt. Ey 
+ (—1PZa,as. sapp E (A Ag an. 
Or, par hypothèse, 
| Le Se 
Donc 
Ay=(—1}Q. CG. .Q-F:' D: 
A= u, =(—1)Q; 
donc on a toujours et sans exception 
Ar = (— 1)"Q, 
Q étant un nombre essentiellement positif. 
» Remarque. — MM. Helmholtz et W. Thomson ont démontré que le 
déterminant A, est symétrique; mais cette intéressante propriété n'est pas 
utile dans notre démonstration, » 
» Corolakre. — On a 
