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et, comme on a pour l'orbite intermédiaire 
dy 
S — —= const., 
il vient 
dt = const. < r°dy.. 
La longitude intermédiaire v, peut ainsi être prise comme nouvelle variable 
à la place de u, 
» Pose-t-on 
I I 
VeV T y e d 
on tombera sur les équations différentielles données par M. Gyldén pour 
déterminer les quantités y et p. » 
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur certaines séries pour le développement des 
fonctions d’une variable. Note de M. Harpuen, présentée par M. Jordan. 
« Une série nouvelle, que M. Léauté a fait connaître l’an dernier dans 
les Comptes rendus (t. XC, p. 1404), wa fourni l’occasion de recherches, 
dont je me propose d'indiquer ici le résultat. 
» Voulant obtenir d’abord la généralisation la plus simple, j'ai cherché 
une série dont le terme général eůt la forme suivante, 
[AfM(a) + BS™(b) + CfM(c) +. JPa(x) 
À, B, C, ..., a, b, c, ... étant des constantes, et P,,(x) une fonction indé- 
pendante du choix de f(x). Cette série devait représenter f(x) ou l’une 
de ses dérivées. A cet égard, voici le résultat : 
Soit A(6) = Ae” + Be + Ce +..., et prenons pour P, (x) le coefficient 
du(m + 1)è"e terme dans le développement de e*:}(€), suivant les puissances 
ascendantes de €. Il existe une classe de fonctions f(x) pour lesquelles la série 
représente la fonction f(x) elle-même, si toutefois (6) n’a pas la racine zéro. 
Au cas où X(&) a la racine zéro, multiple d'ordre k, la série représenterait 
» En cherchant à préciser ce résultat, j'ai rencontré une circonstance 
inattendue : les conditions sous lesquelles le développement s'applique 
sont indépendantes de x, en sorte que la fonction f(x) est nécessairement 
Synectique dans tout le plan. C’est ce qui résulte de la proposition sui- 
vante : 
C. R., 1881, 2° Semestre, ( T. XCII, N° 20.) 104 
