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» Pour que la série s'applique à une fonction f(x), il faut et il suffit : 
1° qu’il existe une constante « telle que le produit œ” f™® (x), pour toute valeur 
finiede x, ne devienne pas infini avec m; 2° queles racines, autres que zéro, de la 
. . . A ` . 1 
onction À(£) aient leur plus petit module p supérieur à celui de -. 
f (8) plus pet p sup 3 
» Cet énoncé ne mentionne pas la condition que f(x) soit synectique, 
mais il la contient implicitement. Comme exemple de fonctions satisfaisant 
aux conditions requises, je citerai e*, sinpæ, cospæx, pour lesquelles la 
, I Faire . 
constante « est égale à 25 cos, Væsinÿæ, les fonctions de Bessel, pour 
lesquelles la constante x est infiniment grande. Au contraire, les fonctions 
e*,cosæ?, ... n’y satisfont pas, ni, bien entendu, aucune fonction algé- 
brique, hormis les polynômes entiers. 
» La série de M. Léauté est ce cas particulier où l’on prend pour terme 
général 
Saya Hb Patr) 
. Ainsi, dans ce cas, la deuxième condition ci-dessus 
p 
a— b 
consiste en ce que l'intervalle (a — b) soit inférieur à 2 zæ. 
» Les séries dont il s’agit peuvent être étudiées à un autre point de vue. 
Prenons une suite de constantes po, Wi, Wa, ..., et envisageons la série 
le module p est 
F(x) = p P+ t P, (£) + uP, (£) +..., 
pour nous demander les conditions de sa convergence et la nature de la 
fonction F(x). Voici la réponse : 
»: Si la série converge pour une suite continue de valeurs de æ, elle est con- 
vergente, quel que soit x. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit que la série 
Ho EPT + Dal +. + Mad +. 
soit convergente à l’intérieur d’un cercle de rayon supérieur à + 
» Ces conditions remplies, envisageons la fonction 
V(x) = po + pa Z Fu Te: Hem a tmy 
I 1.2 I.2.. mMm 
qui est alors synectique dans tout le plan. La fonction F(æ) est une solution 
de l'équation 
AF(a+x)+BF(b+x)+CF(c+x)+...= NV (x), 
