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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur quelques séries pour le développement des 
fonctions à une seule variable. Note de M. Hazpmen, présentée par 
M. Jordan. 
« En cherchant à donner plus de généralité aux résultats dont il a été 
question dans ma précédente Note (*), j'ai obtenu tout d’abord, pour le 
développement de f(x + 7) suivant les dérivées d’une fonction quel- 
conque, la série suivante : 
(1). PoV(r) + Pi(x)V'(r) + PA(æ) VC) + Pale) V(I) H cre 
Ici P,(x) est le coefficient du (m + 1)°"° terme dans le développement, 
X 
suivant les puissances croissantes de &, de la fonction — = » et la 
J 0(x)eTdx 
; s b 
fonction 0(x), qui figure dans l'intégrale, doit, à son tour, être déterminée 
par la condition 
f afe + y)dx = V(y). 
Les limites b, c sont des constantes à volonté. 
» Il faut toutefois ajouter que si, posant 
Tye J G(x)atdx, 
on avait zéro pour To, Tis Tas ..., Tr, et que Ty füt différent de zéro, ia 
série (1) représenterait f(x + y) au lieu de f(x + y). 
» On ne peut guère espérer de parvenir à préciser les conditions d’exis- 
tence d’une telle série en prenant pour point de départ les fonctions f 
et V; mais il en est tout autrement quand on se donne fet 8, et voici quel 
est le résultat. 
» Supposons que la fonction 
pl) = féé(x)dz 
soil synectique aux environs de 6 = 0, et soit k l'ordre de multiplicité de la 
racine zéro pour cette fonction, k pouvant d’ailleurs être nul. Soit aussi p le 
(*) Comptes rendus, séance du 14 novembre. 
C. R., 1881, 2° Semestre, (T. XCII, N° 21.) 
