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module minimum des valeurs de & pour lesquelles £*:@(£) cesse d’être synec- 
lique. , 
» Dans ces conditions, formons le développement (1). Pour que ce dévelop- 
pement représente f(x + y), il faut et il suffit: 1° qu’il existe une constante a 
laissant f(x) fini pour m infini; 2° que le module de « soit supérieur à - 
f 
» Ces conditions sont absolument les mêmes que pour les séries dont 
jai parlé auparavant. Mais il se présente ici un cas tout à fait nouveau: 
c'est celui où p est infini. L’énoncé précédent n’a plus aucun sens; en fait, 
la série (1) s’étend alors à bien d’autres fonctions. Pour obtenir effective- 
ment un exemple de ce cas, j’ai choisi, en outre, 0(x) de telle sorte que 
toutes les dérivées de cette fonction, ainsi qu’elle-même, fussent nulles 
aux deux limites b, c. Le terme général de la série (1) peut alors s'écrire 
ainsi : 
à | 
C1)" PA (æ) f 6x) f(x + 7)de. 
b 
Il ny figure que la fonction f et non plus sa dérivée d’ordre m. La série 
devient applicable aux fonctions discontinues. L’énoncé qui suit se rap- 
porte au choix des deux limites + « pour c, b, et 0 (x) est cette fonction : 
+ © 
6(x)= f er" cos Xw do, 
ou 4 est une constante, n un entier, tous deux positifs. 
» Soient les polynômes P,,(x) ainsi définis, savoir : 
I P Led nètan 
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dém La 
m a am~n 2 mn as amsn 
= — punnan ni PES RE Ds Lt 11, FR i OE | 
m! Ail 1) j: Cerere TETO stok 1) s! (m — 2sn): : 
‘ 
Formons, avec une fonction f(x), la série 
I p 5 +æ +o | mr 
= y (=i) Pa(æ) f de f dof(æ)e* w”cos (zo + me). 
m =0 — o — 0 
Cette série représente f(x), pour les valeurs réelles de x, sous les conditions 
suivantes : f(x) doit étre développable en série trigonométrique dans tout inter- 
valle fini, et, en outre, étre telle que les intégrales, formant les coefficients de la 
série, puissent étre effectivement étendues, par rapport à x, jusqu'à + ©. 
