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» annoncer qu'il ne se produira pas avant 1890, 1888 peut-être, mais bien 
» plus probablement 1892. » 
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les courbes définies par les équations différen- 
tielles. Note de M. H. Poincaré, présentée par M. Bouquet. 
« Dans une Note que j'ai eu l'honneur de présenter à l’Académie en 
1880, j'ai étudié les propriétés d’une équation différentielle de la forme 
(x) | Le a 
X e 
où X et Y sont des polynômes entiers en get y. Considérant x et y comme 
les coordonnées d’un point dans un plan, je projetais gnomoniquement 
ce point sur une sphere, et j'étudiais la forme géométrique des caractéris- 
tiques, c’est-à-dire des courbes sphériques définies par l'équation (1). 
» J'ai reconnu que par un point non singulier de la sphère passe une 
seule caractéristique, et que les points singuliers se répartissent en général 
en trois catégories : les nœuds par où passent une infinité de caractéris- 
tiques, les cols par où passent deux caractéristiques, et les foyers par où ne 
passe aucune caractéristique, mais autour desquels une infinité de carac- 
téristiques tournent comme des spirales en s’en rapprochant indéfiniment. 
Vai démontré dé plus que le nombre des nœuds et des foyers surpasse de 
deux unités celui des cols. 
» Je vais envisager aujourd’hui un cas plus général; j'étudierai l'équa- 
tion FRE 
Se i F(ent)=0 
où F est un polynôme entier. Je poserai 
tolea Or lé m8), D = (E, m0) 
Où ©, P2, ©, sont des fonctions rationnelles en č, n, £; on en tirera 
(3) P(E n, ¢) = 0. 
i [4 x z kd À $ . 
Si £, n, € sont les coordonnées d’un point dans l'espace, l'équation (3) 
représente une surface, et l'équation (2) définit certaines caractéristiques 
ou courbes tracées sur cette surface. Par un point non singulier de la sur- 
