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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une série d’ Abel. Note de M. HALPHEN. 
« Il s'agit de la série ; 
ae ælt — n—1 
(1) A(æ) = fo) + 27/18) + LE Praha on LEO fo). 
indiquée dans les OEuvres d’Abel, t. II, p. 82. Les conditions d'existence 
de la formule (1) n'avaient pas encore été étudiées ; j'ai réussi à les trouver, 
et je vais les énoncer ici. 
» I. Pour qu'il existe des quantités B rendant exacte la formule (1), il faut 
et il suffit qu'il existe aussi des quantités æ laissant fini le produit a" f"( x), quand 
n est infini. 
» J'ai déjà eu l’occasion de le dire à propos d’une autre série (ce Vo- 
lume, p. 782), cette condition implique que f(x) est synectique dans tout 
le plan. 
» II. Soi a le plus grand module des quantités u, et soit u la racine positive 
de l'équation ue'*" = 1 (u = 0,27 à moins de 0,01 près); la formule (1) est 
exacte pour les valeurs de fB dont le module est moindre que le produit ua. 
» Pour certaines fonctions, comme eV? + 67, cosÿx, les fonctions de 
Bessel, le nombre a dépasse toute limite. Avec ces fonctions, la formule (1) 
est, comme on voit, exacte quel que soit 8. Pour les autres cas, lé- 
noncé IT indique des conditions suffisantes, mais non pas nécessaires. 
Les points affixes des quantités 5, pour lesquelles la formule est he 
sont renfermées à l’intérieur d'une courbe dont la forme dépend de f(x 
Le cercle de rayon ua est tout entier dans l’intérieur de cette courbe, de 
fait connaître la proposition suivante: 
» HT. Soit p tout nombre compris entre zéro et n. Les produits z”e? f™ (pz) 
restent finis, pour n infini, tant que le module de z reste inférieur à ua. Mais si 
Z conserve un méme argument w, et que son module croisse d'une manière con- 
tinue au delà de ua, ces produits restent encore finis jusqu’à une autre limite 
o(a), dont la forme dépend de f(x) 
» La condition nécessaire et um à à l'existence de la formule (1) con- 
siste en ceque le point B soit à l’intérieur de la courbe p = g(w). 
» Le probléme est ainsi résolu. Comme exemple, prenons d’abord la 
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C, R. 1881, 2° Semestre. (T. XCHI, N° 24.) 
