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fonction e”. Le nombre a est l'unité, et la courbe limité a pour équation 
peig cos w — =I 
» Elle se compose de deux branches infinies se croisant au point 7, = 0, 
L 
x = — 1; et, en outre, d'une boucle convexe, partant de ce point, entourant 
l’origine et présentant son rayon vecteur minimum p = u, pour © = 0. 
Cette boucle, qui contient le cercle de rayon ų, limite, elle seule, la por- 
tion du plan où peut ètre placé É. 
» Pour la fonction e*, la condition consiste en ce que le point gs soit à 
l’intérieur de cette même courbe; en d’autres termes : 
(2) à mod. AE +, mod. PUPIN 
» Pour les métidns così x, sin NAS, le point ÀB doit être contenu entre 
la courbe pe'*#*"® — 1, restreinte à sa partie située au-dessus de l’axe des 
æ, et la symétrique par rapport ä cet axe. 
» La série (1), formée avec là fonction pa, ést, en même temps, un 
exemple classique de la série de Bürmann. Le terme général est 
a(r np} 
4 Gg ziun ( 
rebe, 
et la condition de convergence coïncide avec la seconde des conditions (2). 
La première des conditions (2) n’est pas nécessaire à la convergence; mais, 
si elle n’est pas satisfaite, la série ne représente pas eT, Parmi les racines p; 
en nombre infini, de l'équation 1e##—}e, il en est une et une seule 
donnant à pĝ un module moindre que l’unité. Si u désigne cette racine, la 
série représente la fonction:e“*, 
» Un exemple plus curieux encore de cas où la série converge. sans 
représenter la fonction est fourni par Abel lui-même, à son insu. L’illustre 
géomètre applique la formule (1) à la fonction log (1 + x). La série con- 
verge, et il est manifeste qu’elle ne représente pas log (1 + x), comme Abel 
lavait pensé. Elle définit une transcendante nouvelle, y parait offr rir de 
l'intérêt. Au lieu du logarithme, prenons la fonction = » et formons la 
série (1), qui devient ainsi 
F(x, 3, B)= : + 
— L 
æ gle — 28) æ(æ— np)" ? 
[EBP ape PH 
et converge, quels que soient x, z, B, sauf pour f = o. C’est surtout comme 
fonction de z qu’elle est digne à remarque, ayant les infinis 0, 8, 2f,... 
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