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l’abscisse æ est une fonction continue du temps admettant une dérivée 
première continue, mais n'ayant pas de dérivée seconde; le mouvement de 
ce point ne peut pas être produit par une force continue dans un intervalle 
de temps si petit qu’il soit, ainsi qu'il résulte du $ III. Nous sommes donc 
amenés à considérer des forces discontinues dans tout intervalle, 
» I. Soit un point matériel, de masse égale à l'unité, mobile sur une 
droite OX sous l’action d'une force F dirigée constamment suivant cette 
droite. Nous appelons vitesse v à l'instant £ la vitesse du mouvement uni- 
forme que prendrait le mobile à cet instant si la force F cessait d’agir; et 
nous nous appuyons sur ce principe que l'accroissement de vitesse du mobile 
dans un intervalle de temps est au plus égal à celui qui se serait produit si 
la force avait constamment conservé la plus grande valeur qu’elle prend 
dans cet intervalle, et au moins à celui qui se serait produit si la force avait 
constamment conservé sa plus petite valeur. On peut toujours imaginer 
que la force F soit exprimée en fonction du temps #, F = w(t); cette fonc- 
tion ọ(t) est supposée quelconque, continue ou discontinue, mais assujettie 
à la condition de rester comprise entre des limites finies dans les intervalles 
de temps considérés. On voit d’abord facilement que la vitesse v est une 
fonction continue du temps. Nous allons étudier la variation v — v, de la 
vitesse pendant l'intervalle de temps fini qui sépare les deux instants £, 
et t. Intercalons, entre £, et £, (n — 1) valeurs #,, £,, ..., Ín, et posons 
di = dis dd, ss dti = du 
Nous formons ainsi z intervalles et nous désignons par M; et m; la limite 
maximum et la limite minimum de la fonction ọ(ż) dans l'intervalle 0, 
(voir Mémoire sur les fonctions discontinues, par M. Dansoux, Annales de 
l'Ecole Normale, 2° série, t. IV, p. 65). L'accroissement de vitesse dans un 
intervalle ð; est au plus égal à M,0;et au moins à m,0;; si donc l’on pose 
M=M,0,+M,d,+... M0. 
m= m, di + M0, +... . + Mans 
on a 
(1) MZv— pzm. 
Si l’on fait croître n indéfiniment et tendre les intervalles ð vers zéro, les 
deùx sommes M et m tendent vers des limites que nous désignerons par 
M(t., £) et m(t., £). On a, par conséquent, l'inégalité 
(2) M (tot) Zv — voz m(t; t), 
